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3DCGとかの本だとクォータニオンの呼称のが多いような気もする

>>4
追記しました。

なるほど、まったくわからんｗｗｗ

故意に書いたのか、それとも意識せずにそうしたのかは分からないけど
句読点が「、」「。」じゃなく「，」「．」となってるところが
理系の記事らしくて良いね

四元数には天才の色気があるよね。
それ故に異端理論として長らく胡散臭い物として扱われたわけだけどw

数とベクトルと平面を同じ記号で書いてて非常にわかりにくい。数とベクトルと平面はちゃんと区別してくれ。

>iをnに直交するベクトルが作る平面とすれば
↑なぜ混同のおそれのあるiを使う？

>eiθ = cosθ + isinθ = cosθ + (n/|n|)sinθ.
↑いきなりi=(n/|n|)としているがそれに対する説明がない。

>幾何的には平面i上にある中心角θ，半径1の弧を表している．
↑平面iはベクトルi、j、kで張られる三次元空間内にある。cosθを足して空間外に出ている以上、これはおかしい。

>↑なぜ混同のおそれのあるiを使う？
複素数の元iと比較対照するためですが、確かに分かり難くなってますね。
素直にnをそのまま使ったほうがよかったかも…

>↑いきなりi=(n/|n|)としているがそれに対する説明がない。
記事中にもあるように、nが平面iを一意に定めることからiと同一視出来る、あるいはnによって平面iを表現出来るということです。
（内積空間のorthogonal complement： (平面iの張る空間) ⊥ (nの張る空間) というやつです）
何故 i = (n/|n|) になるんだという質問であれば、そのように定義したからという答えになります。

>↑平面iはベクトルi、j、kで張られる三次元空間内にある。cosθを足して空間外に出ている以上、これはおかしい。
ご指摘のとおりe^iθは実際には（3次の）ベクトルではありません。ここでは四元数であるe^iθが3次空間内のオブジェクトである弧を表現していると考えて下さい。

本当は、iを多重ベクトル（bivector）として定義するともう少しすっきりした説明が出来るのですが、この記事ではそこまで踏み込む気がなかったため全体的に読み難くなっている感があります。
こちらでもう少し加筆してみますが、駄目そうなら全面的に書き直しちゃって下さい。

>>7
当時はほとんど相手にされずハミルトン自身も破滅したが、後に相対性理論やCGに利用されるようになった。
立場が近いのは純粋数学とされながらデジタル回路に応用されたブール代数だろうか。

>複素数のなかで二乗してマイナス1になるような元は一つしか存在しなかったが

-i 「俺もいるぞ！」

あとIとは何か？でいちいちIとは別にbi + cj + dk を持ち出さなくても、Iでおkですよね？別のベクトルを持ち出すなら、Iと平行であるという条件が必要です。

それとI=i1×i2については、「番号を適当に付け替えて」という補足が必要です。

>>11
修正してみました。

>-i 「俺もいるぞ！」
(ノ∀｀)ｱﾁｬｰ

>Iとは何か？でいちいちIとは別にbi + cj + dk を持ち出さなくても、Iでおkですよね？
これについては、四元数Iとはなんぞや、ということを説明する文中でIを使わないほうがよいかと考えました。

いやこれじゃbi + cj + dkが何なのかの説明がない。

さらにいうと任意のI～の部分はbi + cj + dkについての条件になってしまっています。しかもどんなbi + cj + dkに対しても偽です。

あと記号の意味はその都度説明するようにしてください。特に、その文字が任意の何かなのか、ある何かなのか、既に定義したものか、たった今定義したものか、全体的に不明瞭です。

>bi + cj + dkが何なのか
この文脈では「Iを定義する」bi + cj + dk です。

具体的に、記事中のどの記号が何と曖昧なのか指摘して下されば修正しますよ。

まず、「上で登場した四元数 I」のところは定義式をもう一度書いて、「上で登場した四元数 I=（bi + cj + dk）/｜bi + cj + dk｜」と書いた方がいい。

また、「四元数q を極形式で表したとき」も「四元数q=a+bi + cj + dk を極形式で表したとき」と書いた方がいい。
こうすることで、この節のbi + cj + dkが、前の節で固定したものと同じであることは明確になる。

そして外積のくだりは「任意の I について，」を削除。ここではIはbi + cj + dkに依存している訳だから、任意ではない。
ところで次の単位四元数の節以降、Iは単位ベクトルであれば何でもよく、bi + cj + dkとは無関係な別物になってるがいいのかな？

>>15
反映しました。

>ところで次の単位四元数の節以降、Iは単位ベクトルであれば何でもよく、bi + cj + dkとは無関係な別物になってるがいいのかな？
四元数q を極形式で表すとき I は上記の定義式で定まります。なので、どのような単位ベクトル元でもよいというわけではありません。どのような I に対してもそれを用いた四元数 q = |q|e^(Iθ) が定まるという意味ならばその通りですが。

四元数の記事ええぞ！！

以下の記号も便利だ(ﾟдﾟ)

四元数Ｑ=a･1+b･i+c･j+d･kに対し、

スカラ：ScＱ=a･1
ベクタ：VcＱ=b･i+c･j+d･k
共軛：CjＱ=ScＱ-VcＱ
ノルム：NrＱ=(a^2+b^2+c^2+d^2)^(1/2)
ベルサー(ノルム1の4元数)：VrＱ=Ｑ/NrＱ
偏角(4元数の極形式における)：ArgＱ
実部：ReＱ=a
虚部(3つ)：Im_iＱ=b, Im_jＱ=c, Im_kＱ=d

偏角ﾜｶﾗﾝヽ('A`)ﾉ 書き逃げづらε=ヽ(ﾟдﾟ)ﾉｼ

質問です。
複素数(二元数)の回転は任意の複素数zに対し
　　z'=(e^iθ)z
と書けます。
いっぽう四元数の回転は
　　u'=(e^Iθ/2)u(e^-Iθ/2)　(1)
と書きます。複素数のように
　　u'=(e^Iθ)u　(2)
のように書いてはまずいのでしょうか？いくつか試してみましたが(2)式でも結果は変わらないように思います。
厳密説明が難しいならエッセンスでも結構です。ご教授をお願いします。

>>18です。
次のPDF（http://www.wakayama-u.ac.jp/~tokoi/lecture/gg/ggbook04.pdf）の6ページ目に答えがありました。
　　q=e^Iθ/2、r=e^Iφ/2
とすると一回目にθ、二回目にφ回転させる変換式は
　　u'=rquq*r*
と書け(*は複素共役）
　　(rq)*=q*r*
ですから
　　u'=rqu(rq)*
となり>>18の(1)形式が維持されます。

度々すいません。>>18です。
仮に（2）形式で書こうとすると
　　u'=e(^Iθ)u*=ue(^-Iθ)
と書けますね。

>>18
四元数において(1)と(2)が等しくなる、つまり等式
e^(Iθ/2)ue^(-Iθ/2) = e^(Iθ)u
が成り立つ必要十分条件は、ベクトルuが回転軸である I と直交していることです。この条件が満たされない場合（例えば、I = kでuがkのスカラー倍のときなど）、等式は成り立ちません。

一般の3次ベクトルuは I に直交する成分（u⊥）と平行な成分（u||）の和として表せますが、u|| に対する回転変換はu||を変化させません。u⊥に対する回転変換は上記の式 e^(Iθ)u⊥ですから、結局
u' = e^(Iθ)u⊥ + u||
が変換の像となります。
u|| はe^(Iθ/2)u||e^(-Iθ/2)と書けるので、
u' = e^(Iθ/2)u⊥e^(-Iθ/2) + e^(Iθ/2)u||e^(-Iθ/2)
　 = e^(Iθ/2)ue^(-Iθ/2)
となります。

>>21
垂直成分と水平成分の両方考えなければならないのですね。
ご教授ありがとうございます。

エスコンじみたフライトシューティング作るときにお世話になりました
なんでも防衛省の飛翔体シミュレータにも使われているとか

単位四元数を掛けることは「四次元の特殊な回転」を計算していることになるっていうのが重要だと思う
三次元の回転が例の式になるのは、2回の異なる回転によって余計な方向（実軸とI）の回転を打ち消すためと説明できる

四元数って本当に便利だよな。
まともにやろうとしたら手におえなかった計算があっさりできて驚いた。
理系なら基礎知識として知っておいて良い話じゃないかなと思うが、大学（電気系学科）では習わなかったなぁ…。
三次元の回転への応用を見出したのはケイリーだっけ？
どちらも天才だと思う。
ハミルトンが生前の頃には報われなかったのが残念だね。

四元数は複素係数の四次の行列環の部分環として実現出来るので、線形代数を習っていればある意味四元数を習ったも同然と言える（もちろんこれは冗談ですが）

姿勢制御で使わざるをえなかったが、未だにどういうことなのか理解できてない

>>24
実生活で使うことはまずありませんが、八元数や十六元数を使えば三次元以上の回転も扱えますね。じっさい超弦理論では１０から11次元の回転を扱っています。

>>25
生前は一定の評価でされており、マクスウェル方程式もマクスウェルの元論文では四元数形式で書かれていました。
ただベクトル形式の方が便利なので現在教科書などで四元数形式を教えられることはまずありませんね。

> 単位四元数とベクトル元の積はベクトル元になる．さらに，新しいベクトル元の長さと，もとのベクトル元の長さは等しくなる．

記事中のこの文、成り立たなくない？

陰キャjkって二乗すると陽キキャャijになるの？