弧度法

1 ななしのよっしん
2010/09/06(月) 09:21:20 ID: HuYSrgYqcN
に対して90°が当てられてるのではない。
一周に対して360°という数が当てられてるから直90°に相当するだけ。
なんで360°なのかというとそれが素因数分解したときに
たくさんの約数を作れるから割り算などで整数を答えにしやすい、からと言われている。
ちなみに一周を400にするグラードという単位が作られて、
今もマニアック関数電卓などでひっそり実装されているが、
一般普及ではお察しのとおり。

弧度法文系に進んでる人にとっては何のメリットもわかないだろうが、
の一歩先の三角関数、特にそれの微分積分になるとどうにも度数法では理が生じるので
理系になると当たり前のように使い出す
2 ななしのよっしん
2010/10/20(水) 23:12:38 ID: OByjdED0qc
半径=1、弧の長さ=1 → 度1ラジアン
タイトル:1ラジアン
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3 ななしのよっしん
2010/10/21(木) 12:57:00 ID: v3odSjzanU
弧度法で出た問題を関数電卓rad設定のまま解いて出してしまったのも良い思い出
4 4
2010/10/21(木) 12:58:23 ID: v3odSjzanU
deg設定
5 ななしのよっしん
2010/11/14(日) 21:49:14 ID: rh8bxLlEFS
>>1
1周が360度なのは太陽の影と聞いたが、俗説?
6 ななしのよっしん
2010/12/21(火) 04:20:35 ID: HuYSrgYqcN
>>5
いろいろ説があるらしい
因数分解太陽も一つの説にすぎないけど、
要するに本文の「なぜ直90という数があてられているのか、という疑問である。」
これはおかしいって話ね。

90度が当てられているのではなく、
一周が360度という基準によって直90度に相当するというだけだから。
7 ななしのよっしん
2012/03/16(金) 17:07:16 ID: nSs+7mfJoH
最初勉強した時 度数法でいいだろ なんでこんなの勉強すんだよ!って思ったが使うと微積分とかテイラー級数とか使うと不可欠だと分かる
でも高校数学って何に使うのか教えてくれないからには分からんかった
8 ななしのよっしん
2012/09/12(水) 19:56:45 ID: ciYWn9PHkg
お金は丸いからという理由で1$=360円だった時代もありました
9 ななしのよっしん
2014/01/14(火) 15:02:44 ID: t6psg84X42
>>8
単位が円だから三六十度というのは見たことが有る。
10 ななしのよっしん
2014/03/30(日) 22:58:41 ID: o5C2E9LAcU
気の利いた教師なら何で弧度法を使うのかさくっと説明してくれるかもだけど
現場だとなかなかそうも言ってられないのかもね

端的には
lim[x→0]sinx/x=1
となるように(高校教育では順番が逆なんだが)設定する度の取り方が
弧度法で,これによってsinxの微分係数がそのままそのxにおけるcosxの値になる便利さが生まれる

指数関数ネイピア数eを導出して,その結果x=0のとき微分係数が1になる,というのと同じだね

※裏返せば微分のために編み出した方法なわけだ
11 ななしのよっしん
2014/03/30(日) 23:07:27 ID: o5C2E9LAcU
連投すまぬ
弧度法」という名称もまた,弧度法を使うことによって弧長に直接影するからという結果から名付けられた(?または定着した)ともいえる

高校教育でどういう順番で弧度法を習ったか忘れてしまったが,
弧度法を扱う本質的な理由は上記のためであって,
扇形の弧長が計算しやすいとか扇形の面積める式が簡素化する,
というのは(歴史的にはそういう面もあったろうけど),
現状ではやはり,その結果として厳密に明でき公式化できることが重要なんだと思う
12 ななしのよっしん
2014/03/30(日) 23:36:34 ID: o5C2E9LAcU
うん,蛇足です

>>1文系とかその後の三角関数とかで弧度法でないと太刀打ちできない局面て
あったかなあと,古い記憶をたどってみたんだけど,例えばどんなんだろう?

直観的には360という約数を大量に抱えた値で,小学生から身につけてゆく
度の感覚”がストレートに伝わる度数法のほうが理解しやすいと思う
加法定理にしても一般殻に拡された三角関数においても,度数法で困らないと感じるのだが,如何

というか工学系の研究においても(応用物理もそうかも?)弧度法をわざわざ度数法に換算して“感覚的にわかる値”を出すことはザラだしね

人生観が180°変わった」と言う表現に対し「πラジアン変わった」という変わった人(?)はかなり少ないんじゃないかな
13 ななしのよっしん
2014/07/29(火) 19:51:40 ID: o5C2E9LAcU
特に書込が続いてないけども自身への納得としてオナヌー書込。
ただし,数学科人間ではないので厳密さはめないでほしい。
工学屋であって数学はあくまで言(または定量的に表す便利な具)と見なしている。

弧度法は先述の通りlim_[x→0]sin(x)/x=1となるように実数へ対応させた概念だ。
だがそもそもはθ=0[rad](=0°)近傍でsinθの傾きがcos(0°)=1とすると解析学的に“都合がよい”。
同様にθ=0[rad](=0°)近傍でcosθの傾きが-sin(0°)=0も同様である。
※0°<θ°<90°で単調減少しているのでsinは“-”をとる(これも“数学的都合”)。

そこでd/dx{sin(x)}=lim_[Δx→0][{sin(x+Δx)-sin(x)}/Δx]を考えたときに,
加法定理により和積変換すれば(なおかつ加法定理により一般も定義されているとする),
d/dx{sin(x)}=cos(x)・lim_[x→0]sin(x)/xと件の極限が発生し,
これが“=1”であれば{sin(0)}'=cos(0)=1となる。
高校数学では先に弧度法を定義し,lim_[x→0]sin(x)/x=1を導出するので理解しにくい。
14 ななしのよっしん
2014/07/29(火) 19:53:32 ID: o5C2E9LAcU
ところで,弧度法の定義より先にlim_[x→0]sin(x)/x=1なる
度の取り方(実数への対応のさせ方)を考えるのは難しい。
なぜなら扇形の弧長・弦の長さがまだ定まっていないからだ。

ただ,π≒3.14というのは既知であり,半径rの円周の長さは2πrであることも既知だ。
ここで,tan(θ°)は0°<θ°<90°において単調増加であり,
単位円(r=1)における弧長arc(θ°)=πθ°/180°<tan(θ°)である。
そしてまた0°<θ°<90°においてsin(θ°)<arc(θ°)でもある。
※実のところここの厳密な明は難しい。ただし,図やグラフを見れば明らかではある。

そして,sin(θ°)<arc(θ°)<tan(θ°)をθ°≠0°として式変形すると
1<arc(θ°)/sin(θ°)<cos(θ°)でありθ°→0°の極限は
1<arc(θ°)/sin(θ°)<1により挟み撃ちでarc(θ°)/sin(θ°)→1となる。
従って,arc(θ°)/sin(θ°)=(πθ°/180°)/sin(θ°)であるから,
θ°→0°の極限は1=πθ°/180°180°=πθ°より「180°→π」となる。
15 ななしのよっしん
2014/07/29(火) 19:58:44 ID: o5C2E9LAcU
ここでようやく度と実数の一対一対応ができあがる。
即ち,90°→π/2,180°→π360°→2πとなり,この間の行程で,
この対応においてlim_[x→0]sin(x)/x=1が成立することも自明である。
そして「°」とは“度の単位”であり,抽的に実数対応させた場合,
180°:=πという次元度「ラジアン」が定義できる。
実数に対応させたため逐次“[rad]”と付け加える必要はない。
 逆に言えば「°」は実数に対応していないため逐次付け加える必要がある。

この結果,lim_[θ→0]{sin(θ)/θ}=1,{sin(θ)}'=cos(θ),{cos(θ)}'=-sin(θ),
そして,弧長という,arc(θ)=rθ関係が成立するという,
※上述ではr=1であったため“1(r)”を省略してあった。
数学上もっとも都合の良い関係”がうまれるのである。

この度の実数への対応方法を「弧度法」と呼ぶ。
また,度数法はあくまで度の関数であり,deg(θ)=θ°=(πθ/180)°である。

以上が高校時代に何となく把握していた内容で,それを今更まとめてみた。
工房の発想なので色々飛躍があるのはご容赦をば。
16 ななしのよっしん
2014/07/29(火) 22:14:00 ID: o5C2E9LAcU
一部修正

従って,arc(θ°)/sin(θ°)=(πθ°/180°)/sin(θ°)であるから,
θ°→0°の極限は1=πθ°/180°sin(θ°)180°sin(θ°)/θ°=π
このとき,lim_[x→0]sin(x)/x=1となるように度の取り方を考えれば,
180°→πとなり,ようやく度と実数の一対一対応ができあがる。

即ち,90°→π/2,180°→π360°→2πとなり,
そして「°」とは“度の単位”であり,抽的に実数対応させた場合,
180°:=πという次元度「ラジアン」が定義できる。
実数に対応させたため逐次“[rad]”と付け加える必要はない。
 逆に言えば「°」は実数に対応していないため逐次付け加える必要がある。

この結果,lim_[θ→0]{sin(θ)/θ}=1,{sin(θ)}'=cos(θ),{cos(θ)}'=-sin(θ),
そして,弧長という,arc(θ)=rθ関係が成立するという,
※上述ではr=1であったため“1(r)”を省略してあった。
数学上もっとも都合の良い関係”がうまれるのである。

この度の実数への対応方法を「弧度法」と呼ぶ。
また,度数法はあくまで度の関数であり,deg(θ)=θ°=(πθ/180)°である。
関数電卓ではRADモード中にこのような記述で正確に演算できる。
17 ななしのよっしん
2016/03/22(火) 09:44:06 ID: 0AI7AarLgS
かった
というかめちゃくちゃためになったわ。ありがとう