ニコニコ大百科

超長くなったので簡単に言うと、（ものの速さなどの）変化率を一番正確に知る技法が微分。

x=f(y)
y=f^{-1}(x)
よって、
x=f(f^{-1}(x))
両辺をxで微分
1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'
よって、
(f^{-1}(x))'=1/f'(f^{-1}(x))
か。

一目見ただけじゃどうしてそうなるのかわからなかったから証明してみた。
つうかダッシュが見づらいな。
ダッシュなしf，ダッシュありf'
大百科がTeXに対応してくれたらいいのに。

>>32
定義に従えば、合成関数使わなくても証明できますよ。
ここに書こうとするとメチャクチャ見づらいですけど。

フーリエ変換の時微積分の熟知が必須なんだよなあ・・・
勉強するしかないか

物理をやるために微分を使っていけばその意味も実感しやすくなると思うんだけどなぁ・・
いきなり概念から入ると見た目の難しさにやられる人も多いんじゃないかな。

瞬間の速さって分かりづらいな。グラフの傾きでいいじゃん。
マクロ経済学とミクロ経済学の超入門テキストをやると理解できると思う。

説明の良し悪しは人それぞれなので、一通りでない、いろいろな説明の仕方をコレクションしていくのが正しい勉強の仕方であると思うよ。
速さを使った説明が分かりづらい点は、
変数が時間になってて、変数を少し動かすっていう操作的な面がないところだと思う。
物理だと位置エネルギーを使うのが常套的だけど、歴史的に見てもエネルギーって概念は分かりづらい代物だし一長一短だね。
グラフを使う以外で説明するとなると、だいぶ乱暴だけど、
dy と dx が比例関係になってて、
　　dy = Adx
その比例係数 A を求める作業と言ってもいいかもしれない。
dx は、使っている "ものさし" の最小目盛のそのまた 1/100 程度の大きさ (かそれ未満) であるとして実用上は満足できると思う。
あとは何にせよ具体的な関数で具体的な極限操作をやってみるしかないよね。それこそ y=x とか y=1/x とか。物理とか経済だといきなり指数関数でもいいけど。

全くわからん・・・
速度って相対的なもんなんだから瞬間って写真みたいなもんだろ？
なら0じゃん！って思ってしまう。

>>38
瞬間って聞くとただ一点を指してるように思えるけど瞬きだって時間は経過するからね。
時間座標の一点じゃなくて物凄く短い幅の時間と捉えないとおかしくなる。
近似して０っぽくなってるけど本当に０だと÷０になっちゃうからね。

>>40
えーと？つまり電機子チョッパみたいな感じ？いや、何か違うな・・・

>>40
微分の重要なことの一つは、二つの点が与えられていないと定義できない、
逆を言えば二つの決まった点さえ用意できるなら、微分をすることができるということ。
この場合は、時間が測れて、その時々の物の位置が分かるなら、その物体の速度を決めることができる。
写真の比喩にならうと、写真機と時計があって、撮った写真にその時刻が刻まれていて、しかも写真を撮る機会は一回きりではないということ。
二枚の写真とそれを撮影した時刻が分かれば、物体がその間にどのように運動したかが推察できる。
ではどのように写真をとればよいかというと、間が開きすぎてはダメで、たとえば星の運動を観察しようと思うなら一年も短い時間だけど、セミの飛ぶ姿を移そうと思ったなら一年も待てない。
点ならゼロ、という考えはまったくごもっともで、点ではなく線、それも直線と見做せるくらいの時間を要する。
だから、点と言った場合、そこにはある判別できない程度の大きさが必ず含まれている。

電機子チョッパーはよくわからんだったけど、たぶん当たらずとも遠からずじゃないかな……？

とりあえず二番目のグラフの画像の
各々の二点間の「平均の速度」がなぜグラフ上で傾いてるか理解出来ないというところで躓いてしまったよ(´・ω・｀)

全体から時間上の二点の間で移動した距離を取り出して
その時間で割ったのが「平均の速度」だとして
一つしか無い「平均の速度」がグラフ上で速さを示すy軸に
増大していくのか　ｺﾚｶﾞﾜｶﾗﾅｲ

確かに縦軸が「速さ」では意味分からないね
たぶん縦軸は距離のつもりでグラフ書いたけど修正し忘れたんじゃないかな

直してみた。
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何か違和感あると思ったらアレだ、時間の増加で距離が減ってるからおかしいんだ
バックしてることになっちゃう
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途中から荻野始まってワロタww

>>38
確かに「瞬間」だけを切り取れば止まってるように見えるけど、次の瞬間には移動してるのも確かなわけで
「瞬間」と「次の瞬間」の間の時間と距離を測定すればその2点間の速度が計算できるよね。
その「瞬間」と「次の瞬間」の間の時間をどんどん0に近づければ（＝0にはしない）「瞬間の速さ」がわかるんじゃね？
というのが微分の基本的な概念です。

電機子チョッパは多分あんまり関係ない。

荻野の接点ｔってニッチ過ぎるのか…？

おもしろい。

微分とかって公式とかで覚えちゃってるからこういう図とかで考えることなかったなあ、だから微分とかしっかり理解できてないんだな

「'」はダッシュでなくプライムと読むのが正しいと思うのですが

>>51 確かに...
x' は英語では x prime と読まれてます。

突然出てきたlimに困惑

学校じゃダッシュと呼んでたんだけどなあ
プライムで習った人いる？

これも必要っぽい
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ε-δ論法が関連項目にないのは誠に遺憾である

「limx→0(1/x)=∞」は大丈夫なん？

上半分ぐらいまで　分かりそうなんだぜ～☆（＾▽＾）

>>57
0に「限りなく近づいていく」訳だから、0で割ってるのとはちょっと違うのよ。

>>59
>>57 が言ってるのは+の方から0に近づけると+∞だけど-の方から0に近づけたら-∞だから「limx→0(1/x)=∞」はおかしいってことじゃない？