ニコニコ大百科

>>30
上と下は関数じゃなくね？
まあ定数関数とみなせばいいだけの話だが…

>>30さん、真ん中の式ちゃんと括弧を付けてください

×∫5x^2-x^3dx
○∫(5x^2-x^3)dx

dxはただの記号じゃないんです、れっきとした"数"なんです。
∫f(x)dxは、実は∫f(x)×dxの意味で、dxは被積分関数に掛け算されてるんです。
ですので、実は、∫dxf(x) みたいな書き方をしてもいいんです(こっちの方がメジャーなくらい)

dxという数は、正式には1-微分形式というものの一種で、微小量を抽象化したベクトルみたいなモノです。
まあ単に、ベクトルに交代性のあるテンソル積である外積(Λ)と全微分の一般化である外微分(d)のルールを付け足したってだけのモノなんですけどね。
まあそこらへんの話にもし興味あれば、「グラスマン代数」とかで調べて勉強してみるといいかもですね。

>>30みたいにやってみた
記事内参照用URL :

案の定cauchyやdarbouxの定理について全く記述がなくてわろた。

逆算ってオイラーの時代まで逆算扱いで多変数の微積分や微分方程式まであんま問題なかったから、大学教養くらいの物理数学や応用解析学だとそういう方針。

オイラーはこのころ解析幾何学も定式化して数学Cでやるような二次曲線とかもオイラーの手による。それ以前はアポロニウスのものだった。両方日本語で読めるよ、探してご覧？

で、厳密化するのはフーリエ級数の研究が起源で、それまでは集合論や函数や収束や積分の厳密性はあまり問題にならなかったんだよな。

あと数値積分マダー？誤差評価もランダウのオーダーでやってくれ。

分数にしろ積分にしろ日本では数値計算を最近あんまやらせないからな。ソ連時代の数学書だとそういうおもろい問題が大量にあるんだが。

微分方程式を解く時に必須になるわけだが久々に解こうとしたら積分ができなくて泣ける…

そもそもあの～みたいなのって何？
日本語でいう「何とかから何とかまで」って意味でいいの？

∫←これのこと？

範囲指定があるなら、「ここからここまで足しなさい」っていう意味。
総和を表すΣと似たようなもんだ。

　　　　　∫

イ　ン　テ　グ　ラ　ル

ライプニッツが足し合わせる=ドイツ語のsumma(sは長いs)の略で書き始めたそうな

summa自体はラテン語だね。足すというか「全体」って意味。

俺が高校数学勉強してた当時(高校受験後の春休みに勝手に読んでた)，
リーマン積分というかそのもとになってる区分求積法が教科書に載ってて，
「積分」てのはこーゆーもんが元になってるんだなって実感した。

その後いつだったか忘れたけど数学の本を読んでて
∫dxf(x)という表記もあるんだぜーという記述も違和感なく頭に入ったかな。

でもやっぱり高校数学だとああいう順番で教えなきゃ時間かかるし，
生徒も理解しにくいだろうから，知りたきゃ独学か大学でやるべき内容かもね。

俺の高校では面積から入ったのだが
定義はやはりなぜか不定積分が先だったな

定積分のときに、「は？それ最初にやったことと違うのか？」って混乱した記憶がある
今思えば先生の苦慮の結果なのだろうか

正直、微分積分学の基本定理は高校でも教えた方がいいと思う。
実数論の深いところ素通りすれば、証明もそんなに難しくないしな。

微分の逆演算がなんで面積を意味するのか分からんと、
学生もなんでこんな事やるのか意味が分からんだろ。

>>43
教えてなかったっけ？面積の「積分」を微分するとf(x)が出てくるぞっていう流れで

本格的な数学の教え方はしてないけどね

間違ってる気がするけどこういう風に理解している：
一番最初に関数とｘ軸の間の面積を求めようとしたら微分の逆の操作が必要になったので、
この操作を不定積分として、面積を出す操作を定積分と呼ぶ、と。

>>44
話題として触れられている程度なのかな？
（自分が言いたかったのは、教科書にも参考程度として、直観的な証明を付けた方がいいのでは？という事）

>>45
どちらかと言うと…定積分の方が先なのかなと自分は思う。（下の①～③の流れで考える。）

①関数f(x)とｘ軸の間の面積を定積分として定める。これは、長方形の敷き詰めの極限として定義する。（リーマン積分の考え方）　（ちなみにアルキメデスもこの方法で面積を算出した。）
②定積分における積分範囲（区間）の一端を変数（x）とする。
③定積分を②で変数としたxについての関数とみなすと、これの微分がf(x)になる（これが微分積分学の基本定理）

これ書いて思ったけど、高校の教科書には①での定積分の定義（長方形敷き詰めの極限）の考え方がそもそも載っていないんだよな、確か。難しいから仕方ないかもだけど、定積分の定義が明示されていないのは、混乱の原因だと思うな。

できるひとが羨ましい
何十年たっても理解できない

コンピューター使って微積分を使うべきプログラムも当然組めないので
全部総当り計算でやってるしなあ

ラーメンを乾燥させるのが微分で
お湯をかけてもどすのが積分だよ
むずかしくないよ

じゃあ食うのは何分ですかね？

腹八分

>>50-51

>>46
> 話題として触れられている程度なのかな？
まさにその通り。ただ，公式としてはきちんと掲載されていて，現行の教科書によってはコラムで「これを微分積分の基本定理という」として紹介してる。証明は不定積分ありきなので残念。

> 高校の教科書には①での定積分の定義（長方形敷き詰めの極限）の考え方がそもそも載っていないんだよな、確か。
これも区分求積法の極限と定積分を結ぶ公式としてきちんと掲載されていて，同様にコラムで「これが本来の定積分の定義である」と紹介してる。

以上，現行過程の数研出版の教科書を立ち読みしてきた結果。

自分の書き込みを読み返したら誤字脱字がひどかったｗ

誰でもわかる高校数学みたいな本は戦前からあるという

>ID: JmQeImhOnI
たとえばこの人におれが理解できたら100万円やるから
高校で覚える微積分だの対数だのの知識をすべて教えてくれといっても
ほぼ100%の確率でどっちかが途中で投げるだろうね
そういう性質を持ったものだと思う
三次関数までとはあまりにも次元が違いすぎる代物なんだよ

【大小関係は理解できるが証明のしかたがわからない問題】
∫|f(x)|dx (a≦x≦bで定積分) ≧ |∫f(x)dx| (a≦x≦bで定積分)　を証明しなさい。

>>57　積分区間は脳内補完で
g(x)=f(x) (f(x)≧0のとき) ,g(x)=0 (f(x)<0のとき)
h(x)=0 (f(x)≧0のとき) ,h(x)=-f(x) (f(x)<0のとき)
とおくと、g(x)≧0,h(x)≧0
f(x)=g(x)-h(x),|f(x)|=g(x)+h(x)

|∫f(x)dx|=|∫{g(x)-h(x)}dx|
　　　　　 =|∫g(x)dx-∫h(x)dx|
　　　　 　≦|∫g(x)dx|+|∫h(x)dx|
　　　　　 =∫|g(x)|dx+∫|h(x)|dx
　　　　　 =∫{|g(x)|+|h(x)|}dx
　　　　　 =∫{g(x)+h(x)}dx
　　　　　 =∫|f(x)|dx

線積分、面積分、複素解析加えておきました。

あと、高校の数学の積分は、不定積分を微分の逆演算として定義しています。つまり微分積分学の基本定理を定義にして積分を定義しています。だから基本定理は絶対に〈習い〉ます。数学IIでも。

数学IIIの教科書のコラムでは、区分求積法が載っています。定積分の考え方が書かれていますが、基本定理との関連は書かれていないことが多いと思います。

積分は普通は体積のリーマン和を考えて極限を取るんですが、高校だと後で不定積分を使って定積分を定義しますね……。時間的に仕方ないと思いますが;

>>57
リーマン積分なら定義に戻れば、ただの足し算だから、三角不等式使えば普通にできる。