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ウリゾーンの距離化定理


ヨミ: ウリゾーンノキョリカテイリ
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数学におけるウリゾーンの距離化定理とは、位相間に対して、その位相と合致する距離を入れることができる(すなわち距離化可である)ための条件について述べた定理である。具体的には、正則第二可算T1間は距離化可というものである。


証明


ウリゾーンの補題などを使う。以下の事実に注意する;

  1. 第二可算間はリンデレーフ
  2. 正則リンデレーフ空間は正規
  3. 正規(T1間Xの閉集合Fと開集合F⊂Uに対して、f(F)=1,f(X\U)=0なる連続写像f:X→[0,1]が存在する(ウリゾーンの補題

1,2については最後に示す。

Xを正則第二可算T1間とする。上の注意より、Xは正規間である。{Bn|n∈N}をXの可算な開基とする。E={(n,m)∈N2|Cl(Bn)⊂Bm}と置く。これは可算集合。Eの元を自然数Nで添え字付けてE={e(n)=(k(n),l(n))|n∈N}と置く。

ウリゾーンの補題より各e(n)=(k(n),l(n))∈Eに対し連続写像fn:X→[0,1]であってfn(Cl(Bk(n)))={1},fn(X\Bl(n))={0}を満たすものが存在する。

f:X→[0,1]Nf(x)=(fn(x))n∈Nで定めると、これは連続。

二点x≠yに対しx∈Bk(n)Cl(Bk(n))⊂Bl(n),y∈Bl(n)となるnをとればfn(x)=1,fn(y)=0となりf(x)≠f(y)ゆえfは単射。

各xと近傍x∈Uに対してx∈Bk(n)Cl(Bk(n))⊂Bl(n)⊂Uとなるnをとり、f(x)の近傍を

 V=Πi=1n-1[0,1]×{1}×Πi=n+1[0,1]

と定めると、f-1(V)⊂Uとなるのでこれからf-1:f(X)→Xは連続であることがわかる。

[0,1]N距離をDとするとd:X×X→[0,)をd(x,y)=D(f(x),f(y))で定めればこれはX上の距離となる。よって示された。

上の注意1,2の明を簡単に述べる。

第二可算間Xがリンデレーフであることを示そう。開被覆{U(λ)|λΛ}と可算な開基{B(n)|n∈N}を任意に取る。各点x∈Xに対しあるλΛがあってx∈B(n)⊂U(λ)となるn全体をAと置くと、Aは可算で{B(n)|n∈A}はXの開被覆。各B(n)に対しB(n)⊂U(λ)なるλをひとつずつとりλ(n)とおけば{U(λ(n))|n∈N}は元の開被覆の可算部分被覆

最後に正則リンデレーフ空間Xが正規であることを示そう。F,Hをでない交わらない閉集合とすればF,Hもまたリンデレーフ。各点x∈Fに対して正則性からCl(U(x))⊂X\Hとなるxの開近傍U(x)をとってくると、{U(x)|x∈F}はFの開被覆なので可算個のxn∈Fにより{U(xn)|n∈N}がFの開被覆となるようにできる。Hでも同じことをしてHの可算開被覆{V(yn)|n∈N}、yn∈N、Cl(V(yn))⊂X\Fをとる。

 U=U(x1)∪(∪{U(xi)-∪j=1iCl(V(yj))|2≦i<})

 V=∪{V(yi)-∪j=1iCl(U(xj))|1≦i<}

とおけば、U,Vは開でF⊂U,H⊂V,U∩V=∅となる。よって示された。


関連項目



最終更新日: 16/01/31 23:57
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