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シューアの不等式


ヨミ: シューアノフトウシキ
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シューアの不等式とは、数学者イサイ・シューアにちなんで名付けられた三変数の絶対不等式のことである。


呼び方


英語では Schur's inequality となるが、この "Schur" の読み方は "シューア" や "シュール" や "シュアー" など、いろいろあるようである。ヘブライ語では "シュール" であるが英語では "シューア" である。この記事では "シューア" と呼ぶことにする。


概要


非負実数 x,y,z と任意の実数 t>0 ( t≦0 のときは xyz≠0 ) について次の不等式が成り立つ。

ft(x,y,z) = xt(x-y)(x-z) + yt(y-z)(y-x) + zt(z-x)(z-y) ≧ 0

等号成立条件は x=y=z または x,y,z のうち1つが 0 で残り二つが等しいときである。この不等式をシューアの不等式という。


証明


いくつか明を紹介しよう。

証明1

まずは t が一般の実数の場合を示す。x,y,z についての対称式であるから x≧y≧z としてよい。このとき

ft(x,y,z) = (x-y)( xt(x-z) - yt(y-z) ) + zt(x-z)(y-z)  ...(1)

= xt(x-y)(x-z) + (y-z)( zt(x-z) - yt(x-y) )  ...(2)

ここで仮定した x,y,z の大小関係より、t ≧ 0 なら (1) の右辺は明らかに正、t < 0 なら (2) の右辺は正である。よって示された。◻︎

証明2

マニアのために t=0,1,2,3 について、対称性を崩さない明を紹介しよう。次の恒等式が成立する。(本当に成り立つのか疑り深い人は実際に右辺と左辺を手(wolframとか)で展開してみるとよい。

f0(x,y,z) = 1/2*((x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2)

f1(x,y,z) = yz(y+z)(y-z)2/((x+y)(x+z)) + zx(z+x)(z-x)2/((y+z)(y+x)) + xy(x+y)(x-y)2/((z+x)(z+y))

f2(x,y,z) = 1/2*( (y+z-x)2(y-z)2 + (z+x-y)2(z-x)2 + (x+y-z)2(x-y)2 )

f3(x,y,z) = (x2+y2+z2)f1(x,y,z) + 2xyz*f0(x,y,z)

右辺は明らかに正である。よって示された。◻︎

この明から、t=0,2 では x,y,z が任意の実数で成立することがわかる ( 逆に任意の実数 x1,...,xn に対して f(x1,...,xn) ≧ 0 となる有理式 f は必ず有理式方の和で表せることが知られている。→ヒルベルトの第17問題 ) 。

証明3

実はコーシーシュワルツの不等式を用いても示すことができる。次の補題を用いる。;

 補題 a,b,c,p,q,r ≧ 0 , a+c ≦ b , √p+√r ≧ √q のとき pbc+rabqca

明はコーシーシュワルツの不等式による。

 pbc+rab = b(pc+ra) ≧ (a+c)(pc+ra) ≧ (√(apc) + √ (cra))2 = (√p+√r)2ca ≧ qca ◻︎

本題に入る。ft は x,y,z について対称なので x≧y≧z (≧0) としてよい。a=y-z≧0,b=x-z≧0,c=x-y≧0,p=xt,q=yt,r=zt とおくと

 ft(x,y,z) ≧0 ⇔ xt(x-y)(x-z)+ zt(x-z)(y-z) ≧ yt(y-z)(x-y) ⇔ pbc+rabqca

x≧y≧z より a+c ≦ b , √p+√r ≧ √q なので補題よりこれは成立する。◻︎


拡張1 ( Vornicu-Schur Inequality )


明1より、シューアの不等式は次のように拡できることがわかる。;

a,b,c ≧ 0 であり、x,y,z と a,b,c の順序関係が同順または逆順 ( つまり a,b,c がこの順で大きくなるときは x,y,z はこの順で大きくなるか小さくなる ) であるとき、

a(x-y)(x-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-x)(z-y) ≧ 0

a=xt,b=yt,c=zt と置いてみると、これがシューアの不等式の拡になっていることがわかる。

このような拡はたくさん知られている。ここでは

f(a,b,c:x,y,z) = a(x-y)(x-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-x)(z-y) …[1]

の形の式がどの場合に ≧ 0 であるか調べよう。次の定理が知られている。

(A) x≧y≧z かつ a,b,c≧0 かつ a+c≧b のとき f ≧ 0

(B) x≧y≧z≧0 かつ ax,by,cz≧0 かつ ax+cz≧by のとき f ≧ 0

(C) a,b,c の平方根三角形の三辺を成す数であるとき f ≧ 0

(D) x,y,z≧0 かつ ax,by,cz の平方根三角形の三辺を成す数であるとき f ≧ 0

(E) x≧y≧z≧0 で、ある関数 k:R+→R+ が存在し、a=k(x),b=k(y),c=k(z) となるとき f ≧ 0

ただし(E)において R+ は非負実数全体を意味する。これら一連の"シューア"不等式を Vornicu-Schur Inequality と言ったりするようである。名前の由来となった Valentin Vornicuルーマニア数学者である。

Vornicu-Schur Inequality の証明

まず (A) を示そう。x≧y≧z より x-z≧y-z≧0 なので

a(x-y)(x-z) ≧ a(x-y)(y-z) , c(z-x)(z-y) ≧ c(x-y)(y-z) となり、

f(a,b,c:x,y,z) ≧ (a+c-b)(x-y)(y-z) ≧ 0

となる。よって(A)が示された。

(B)を示す。[1]の式に xyz ≧ 0 をかけると

xyz*f(a,b,c:x,y,z) = ax(xz-yz)(xy-yz) + by(xy-zx)(yz-zx) + cz(yz-xy)(zx-xy) = f(ax,by,cz:yz,zx,xy)

x≧y≧z のとき yz≦zxxy であるから (A) より f(ax,by,cz:yz,zx,xy) ≧ 0 がわかる。よって示された。

(C) を示そう。f は次のように変形できる。

f(a,b,c:x,y,z) = a(x-y)(x-y+y-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-y+y-x)(z-y)

= a(x-y)2 + (a-b+c)(x-y)(y-z) + c(y-z)2

これを (x-y) と (y-z) の二次形式と見てみよう。すると任意の実数 x,y,z で非負であるためには

a,c ≧ 0 , 判別式 D = (a-b+c)2 - 4ac ≦ 0

が必要十分であるとわかる。判別式を整理すると、

(a-b+c)2 - 4ac = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca

となることがわかる。よって

D = (a-b+c)2 - 4ac ≦ 0 ⇔ a2+b2+c2 ≦ 2ab+2bc+2ca

となる。また、D ≦ 0 から

2b(a+c) ≧ (a-c)2+b2 ≧ 0

がわかるので、a,c ≧ 0 より b ≧ 0 もわかる。いま、a,b,c ≧ 0 が得られたので √a=A,√b=B,√c=C と置こう。すると

D ≦ 0 ⇔ (c-a-b)^2 ≦ 4ab ⇔ |c-a-b| ≦ 2√(ab) = 2AB

c-a-b ≧ 0 のときは c-a-b ≦ 2AB ⇔ C2 ≦ (A+B)2 ⇔ C ≦ A+B

c-a-b ≦ 0 のときは a+b-c ≦ 2AB ⇔ (A-B)2 ≦ C2 ⇔ |A-B| ≦ C

従って D ≦ 0 ⇔ |A-B| ≦ C ≦ A+B がわかる。これは A,B,C が三角形の三辺を成すということである!WoW!! なんか数学秘を垣間見た気がするね!! これで (C) が示された。

(D) は (B) の明と同様である。xyzをかければ良い。

(E) を示そう。次の恒等式が成立する。;y = ((y-z)x+(x-y)z)/(x-z)

x-z ≧ x-y,y-z なので、k の性より、

k(y) = k(((y-z)x+(x-y)z)/(x-z)) ≦ ((y-z)*k(x)+(x-y)*k(z))/(x-z) ≦ k(x)+k(z)

となる。よって(A)より(E)が従う。


拡張2


(x-y)(x-z)の方を変化させるもある。次の定理が知られている。

区間 J ⊂ R と単調増加な奇関数 p:J→R がある( p(t) ≦ 0 ⇔ t ∈ J かつ t ≦ 0 , p(t) ≧ 0 ⇔ t ∈ J かつ t ≧ 0 となる)。

a,b,c ∈ R , x,y,z ∈ R+ であり、a-b,a-c,b-c,b-a,c-a,c-b ∈ J であるとき、

(A) a≧b≧c かつ x+z≧y のとき

(B) x,y,zが三角形の三辺のとき

(C) ある関数 k:R+→R+ が存在し、x=k(a),y=k(b),z=k(c) となるとき

x*p(a-b)*p(a-c) + y*p(b-c)*p(b-a) + z*p(c-a)*p(c-b) ≧ 0

が成り立つ。明は拡1とほぼ同じようにできる。


拡張3( n 変数 )


3 次のシューアの不等式は n 変数への拡が知られている。 3 次以外のシューアの不等式を n 変数へ拡するとどうなるのかはまだよくわかってないらしい。これらの不等式関数との関連が強く、関数に関して成り立つ不等式の応用として示されるが、単純に帰納法によって示すこともできる。

拡張3.1 (Vasile Cirtoaje)

Vasile Cirtoaje による次の拡がある。

 n(≧3) 個の非負実数 x1,...,xn に対し次が成り立つ。

 (1) Σi=1nxi3 + 3*Σi<j<kxixjxkΣi<jxixj(xi+xj)

 (2) (1/n)*Σi=1nxi3 + (6/(n(n-1)(n-2)))*Σi<j<kxixjxk ≧ (2/(n(n-1)))*Σi<jxixj(xi+xj)

これらは n=3 とすればシューアの不等式となる。

明は前述のように関数に関する不等式を用いて示されるが、そんな大げさな具立てをしなくても(本来の3次の)シューアの不等式を用いても示せる。

明をしよう。まず(1)から。両辺とも x1,...,xn の対称式であるから x1≧...≧xn としてよい。このとき (i,j)≠(1,2),(2,3),(3,1) に対し

 xixj(xi+xj) ≦ 2x1xixj

となる。また、シューアの不等式より

 x13+x23+x33+3x1x2x3 ≧ x1x2(x1+x2) + x2x3(x2+x3) + x3x1(x3+x1)

が成り立つので、

 Σi=1nxi3 + 3*Σi<j<kxixjxk

 ≧ x13+x23+x33+3x1x2x3 + 2Σ1<i<j,(i,j)≠(2,3)x1xixj

 ≧ x1x2(x1+x2) + x2x3(x2+x3) + x3x1(x3+x1) + Σi<j,(i,j)≠(1,2),(2,3),(3,1)xixj(xi+xj)

 = Σi<jxixj(xi+xj)

よって示された。等号成立は x1,...,xn のうち 3 つ以下が等しく、残りが 0 のとき。

(2) はシューアの不等式より

 xi3+xj3+xk3+3xixjxk ≧ xixj(xi+xj)+xjxk(xj+xk)+xkxi(xk+xi)

となるので、これをすべての(i,j,k)について足し合わせれば

 Σi<j<k(xi3+xj3+xk3) + 3Σi<j<kxixjxkΣi<j<k(xixj(xi+xj)+xjxk(xj+xk)+xkxi(xk+xi))

が得られるが、ここで

 Σi<j<k(xi3+xj3+xk3) = n-1C2*Σi=1nxi3

 Σi<j<k(xixj(xi+xj)+xjxk(xj+xk)+xkxi(xk+xi)) = (n-2)*Σi<jxixj(xi+xj)

に注意すると

 n-1C2*Σi=1nxi3 + 3Σi<j<kxixjxk ≧ (n-2)*Σi<jxixj(xi+xj)

が得られ、この両辺を nn-1C2 で割ると定理を得る。◻︎

拡張3.2 (Janos Suranyi)

Janos Suranyi による拡も知られている。Suranyi's Inequality と言われることがある。

 n 個の非負実数 x1,...,xn に対し次が成り立つ。

 (n-1)*(x1n+x2n+...+xnn) + n*x1x2...xn ≧ (x1+x2+...+xn)(x1n-1+x2n-1+...+xnn-1)

n=3 とすればシューアの不等式が得られる。

帰納法により示される。明をしよう。n=1,2,3 では明らかに成立する。ある n で成り立つとして n+1 で成立することを示す。

両辺ともに対称式なので x1≧x2≧...≧xn+1 としてよい。Sk = x1k+x2k+...+xnk , S=S1 , T=x1x2...xn と置く。このとき xn+1 ≦ S/n となる。

まず、帰納法の仮定より

 (n-1)*xn+1Sn + n*xn+1T ≧ xn+1*S*Sn-1  ...[1]

が成り立つ。

正の数 a1,...,am に対し Πi=1m(1+ai) ≧ 1+Σi=1mai が成り立つ(帰納法により容易に示される)ので、

ここで ai=(xi-xn+1)/xn+1≧ 0 とすれば

 T = Πi=1mxi = xn+1n Πi=1m(1+(xi-xn+1)/xn+1)

 ≧ xn+1n (1+Σi=1m(xi-xn+1)/xn+1) ) = (1-n)*xn+1n + xn+1n-1 S

となるので

 xn+1T + n*xn+1n+1 ≧ xn+1n+1 + xn+1n S   ...[2]

を得る。

さて、示すべきことは

 n*(Sn+1+xn+1n+1) + (n+1)*xn+1T ≧ (S+xn+1)(Sn+xn+1n)

なので、整理すると

 { (n-1)*xn+1Sn + n*xn+1T -xn+1*S*Sn-1 }

  + { xn+1T + n*xn+1n+1 - ( xn+1n+1 + xn+1n S) }

  + { n*Sn+1 - S*Sn - n*xn+1*Sn + xn+1*S*Sn-1 }

 ≧ 0

を示せば良い。

[1],[2] より1,2個の中かっこの中は正。よって

 n*Sn+1 - S*Sn - n*xn+1*Sn + xn+1*S*Sn-1 ≧ 0

を示せば良い。整理して、

 n*Sn+1 - S*Sn ≧ xn+1(n*Sn - S*Sn-1)

となるが、左辺はチェビシェフ不等式より n*Sn - S*Sn-1 ≧ 0 なので正。よって xn+1 ≦ S/n より

 n*Sn+1 - S*Sn ≧ (S/n)(n*Sn - S*Sn-1)

を示せば良い。整理して

 n*Sn+1 - 2*S*Sn + S2Sn-1/n ≧ 0

を示せばよいがこれは

 n*xin+1 - 2S*xin + S2xin-1/n = (n*xi-S)2xin-1/n ≧ 0

を i=1,...,n で足し合わせればわかるので、以上より定理が従う。◻︎

ちなみにSuranyi's Inequalityはさらに次のように拡される。:

  区間I⊂R上定義された関数fについて、f,f'が関数であるとき

  ai∈Iに対し (n-1)Σi=1n f(ai) + nf(1/n*Σi=1nai) ≧ Σi,j=1n f( ((n-1)ai+aj)/n )

f(x)=exなどとすればSuranyi's Inequalityとなる。明はKaramataの不等式などをうまく使うことでなされる。詳しくは→About Sur´anyi’s Inequality[外部]


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最終更新日: 15/12/27 08:57
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