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フェルマーの最終定理


ヨミ: フェルマーノサイシュウテイリ
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フェルマーの最終定理とは、数学の定理である。


概要


定理は非常にシンプルであり、

方程式 xn+yn=zn が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」

というものである。

この定理が産を上げたのは17世紀。フランス数学ピエール・ド・フェルマーが、彼の読書である『算術』ディオファントス著)余白に書き込んだメモがきっかけである。 さらに、

私はこの定理についてに驚くべき明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる

とのコメントが記してあった。まるでかがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され、これらのメモ書き付きで再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。明は困難を極め、いつしかこの定理フェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった(この時点では未明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあったが、フェルマー明したという伝説にちなんで『定理』と呼ばれていた)。

この定理明されるまでに、実に330年以上もの歳を必要とした。

明したのはイギリス数学者、アンドリューワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理三平方の定理)である。


証明の歴史


<1670年>

全ての元凶 フェルマーの死後、彼の息子が遺品整理の際にフェルマーの注釈(最終定理48個中2番)を含めたディオファントスの「算術」(親父明したって言ってるけどその明が残ってない定理一覧)を出版する。

またこの時、フェルマー自身はn=4の時についての明を書き残していた。

1770年>

レオンハルト・オイラーがn=4を簡略化し、そこに虚数(二乗すると-1になる数)を使いn=3の時の明に成功する。

そして、その解法はそれぞれの倍数についても同様に成り立つ為 「全ての素数が成り立たないことを明する」事でフェルマーの最終定理を明できるとした。

1823-1847年>

ソフィジェルマンが「フェルマー定理が成り立つ時は、x,y,zのいずれかがnで割り切れなければならない」と明(ソフィジェルマン定理

ペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアンマリ・ルジャンドルが、ソフィジェルマン定理を用いてn=5の時の明に成功し、ディリクレは「n=14」の時についても明する。(後にガブリエル・ラメが「n=7」の時の明に成功する)

そして、1847年に、業を煮やした数学界が「フェルマーの最終定理」に懸賞を付ける。

これにガブリエル・ラメとオーギュスタン=ルイ・コーシーが競い合って明を完成させようとするが、明方法の致命的な欠陥をエルンスト・クンマーに摘され、断念。

クンマー がその欠陥を直した「ぼくのかんがえたさいきょうのかず」(理想数)を提案するが、同時に「この方法(理想数)を用いてもフェルマーの最終定理は明できない」とも結論付けた。

懸賞はクンマーが受け取った)

1955年

志村五郎が、友人山豊の発想を元に「全ての楕円曲線とモジュラー形式は、ゼータ関数が一致するのではないか」(山・志村予想)と提唱し、ラングランズ哲学の観点から注される。

(ようするに、全然分野の違う二つの数式が似てるけど、もしかしたら繋がってるんじゃないか?という予想)

ラングランズ哲学・・・全ての物には数学的な規則性や必然性があり、実は全部深い所でつながってるんじゃないの?という考え

<1984年>

ゲルハルトフライが「フェルマーの最終定理を変形させると楕円方程式の形になる」

そして「その変形させた楕円方程式山・志村予想を満たさない」と発表

その後、ジャンピエール・セールによって定化される(フライ・セールのイプシロン予想)

<1986年>
ケン・リベットが「フライ・セールのイプシロン予想」を明する

これを整理すると

谷山・志村予想は楕円曲線とモジュラー形式がゼータ関数でラングランズ哲学がフライセールのイプシロン予想で

フェルマーの最終定理のx,y,zに正解があるとすれば、山・志村予想は満たされない(山・志村予想は間違っている)

言い換える(対偶をとる)と、山・志村予想が正しいと明されれば、フェルマーの最終定理のx,y,zを満たす自然数の解は存在しない。

つまり、山・志村予想が正しいと明出来れば、フェルマーの最終定理も明出来るということになる。

<1993年6月23日>

当時、岩澤理論における楕円曲線ゼータ関数の一部の明に成功し、プリンストン大学教授だったアンドリューワイルズが、ケンブリッジニュートン研究所の講演会で、明に成功したと発表。

世間は大騒ぎになるが、のちの論文の審で欠陥が見つかる。

当初はこの欠陥について、秘密裏に修復しようと沈黙していたが、論文の審結果も論文自体も表されないために、世間が混乱する。

<1994年9月19日>
ワイルズ「もう諦めよう…最後に岩澤理論を見直してみ…………!!!!」 
(本人く「じゃないかと思うような素晴らしい明」が頭に浮かんだという」) 

<1995年>
ワイルズの明に不備がないことが確認され、330年もの歴史に決着がついた。

悪魔の証明

この明は、300年以上もの間明されなかったことから悪魔の証明とも呼ばれた。

といっても「明するのが原理的に不可能」という意味の悪魔の証明ではなく、「数々の数学地獄に落とした」という経歴がそう呼ばせるのである。

1847年、クンマーが「現代の数学では不可能」と結論付けてから、1984年フライ・セール予想が発表され具体的な明方法が見つかるまでの間も、もちろんこの明に挑戦する数学たちは多かった。

特に1900年代に、大富豪ヴォルフスケールが10万マルク日本円で十数億円)という大な懸賞この定理明にかけた為、フェルマーの最終定理ブームが起こったほどである。

…がしかし、歴史的に見ても、もちろん明されていないどころか、特にコレといった発見すらない。

つまり「まったくの駄な時間」を、この問題に挑戦させた多くの人々に味わわせたのである。

論、未解決問題の明には長い長い時間を要する。5年10年では足りないだろう。

だがもし、人生の中の10年という時間をこの問題の明に費やしても成果が出なかったらどうなるか?

答えは決まって「もっとのめりこむ」のであった。だってすでに10年もの歳を使ってしまったのだから……。

明しなければ報われない……だがしかし明さえすればこの10年は駄ではなかった!それどころか十数億!さらには数学界における永遠の栄誉まで手に入る!

…そう信じて、死の直前まで理想を抱いたまま倒れたものがどれだけいただろうか……。

そして、このブームに乗っかったのは数学素人の方が多かったとも言われている。

理由は、この問題の悪魔的要素の一つである「理解のしやすさ」である。

難しい専門用もなく、理解しがたい数式い、たった一行の数式明するだけである為に「もしかしたらできちゃうんじゃ」と勘違いする人間が数多く存在した。

さらに、フェルマーの一言に驚くべき明」という言葉から「小難しい理論なんて必要じゃないんじゃない? ひらめき一発で解けるような、そんな問題なんじゃないか?」と勘違いを起こさせた。

実際に、数学者達は「も解けてないんだから理だろう」と諦め、まともに取り組もうとしなかったが、一般人はそうは思わず、一人また一人と地獄送りへなっていった……フェルマー恐ろしい子…!

一方で、この問題の明を見て数学者のを志した人間も少なくなく、多くの若者数学世界に招き入れたという正の側面も存在する。

最終的に明に成功したアンドリューワイルズもまた、そういった若者の一人であったのだが、数多の天才が敗れていったこの問題に手を出すことを恩師のジョン・コーツに止められ、数学者になってからしばらくは別の研究を続けていた。

……が、自身の専門分野である楕円曲線の研究がフェルマーの最終定理の内容と繋がることに気付き、それをきっかけにこの問題の明へとのめり込んでいくいことになる。

ワイルズはこの明に挑戦するために自室に引きこもり、講義や生徒導など最低限の仕事しかこなさなくなったと言われている。

それどころか、定期的な発表会でさえ他の研究をしていなかったワイルズは未発表の論文を限りなく薄めて引き延ばすという方法をとり、時間を稼いでいた。

当然、彼の評価は「まともに仕事をしない」「大した成果を出さない」と、失墜していき、同僚からは「人が変わったように無能になった」と言われていた。

そんな生活を、彼は7年も続けていた。彼もまた、もしも結果が出ていなければ、一生を台しにする所だったのかもしれない…。

(因みに、ヴォルフスケール懸賞ワイルズが受け取ったが、当時十数億円と言われた懸賞は、世界大戦によるハイパーインフレにより500万円ほどの価値であった)


その後


ワイルズが明したフェルマーの最終定理は、あくまでも「山・志村予想」の半安定の場合であり、山・志村予想の全な明ではなかった。半安定の場合だけでもフェルマーの最終定理の明には十分だったためである。しかしこれにより楕円曲線の研究がさらに進み、2001年ワイルズの教え子にあたるリチャードテイラーブライアン・コンラッド、フレッドダイアモンドクリストフ・ブレイユにより一般の場合における山・志村予想が明され、現在は「モジュラー定理」と呼ばれている。
また2020年には、ABC予想明されたことでフェルマーの最終定理の別明がなされることとなった。


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最終更新日: 21/06/15 06:12
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