ニコニコ大百科モバイル

7/2(月)よりスマホまたはPCでアクセスした場合、各デバイス向けのサイトへ自動で転送致します


フォイエルバッハの定理


ヨミ: フォイエルバッハノテイリ

初等幾何学においてフォイエルバッハの定理とは、三角形の九点円と内接円が内接し、九点円と傍接円が外接する、という定理である。


証明


傍接円に関しても内接円の場合と同様に示される。三角形ABCとする。AB>ACとしても良い。

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし、辺BCの中点をMとする。ABCの内接円とBCの接点をLとし、M中心で半径MLの円をΓとする。このとき、内接円をΓ反転しても内接円に写ることがわかる。

CからADに降ろした垂線の脚をN、CNとABの交点をEとおく。このときCE=2CNである。よって中点連結定理よりMNとABは行で、BE=2MN、∠MND=∠BAD=∠DACとなる。また、AE=ACとなるので、

 MN=(1/2)BE=(1/2)(AB-AC)

となる。Lは内接円とBCの接点だったので、AB>ACより

 ML=BL-BM=(1/2)(AB+BC-AC)-(1/2)BC=(1/2)(AB-AC)=MN

がわかる。

AからBCに降ろした垂線の脚をHとすると、∠CNA=90°=∠AHCなので4点A,N,H,Cは同一円上にあり、従って

 ∠NHM=∠NAC=∠DAC=∠MND

がわかる。よって接弦定理と方べきの定理よりMH*MD=MN^2=ML^2がわかり、これよりHをΓ反転するとDに来ることがわかる。

九点円はMを通りHを通るので、九点円をΓ反転するとDを通る直線に写ることがわかる。この直線がDEであることを示せば、DEは内接円と接するので定理明されたこととなる。

ACの中点をXとする。MNはABと行なのでM,N,Xは同一直線上にある。MXとDEの交点をYとして、XをΓ反転したときYに来ることを示せば良い。

MYとABは行なのでDMY∽DBEであり、よって

 MY*MX=BE*(DM/DB)*(1/2)AB=(1/2)BE*AB*DM/DB=MN*AB*ML^2/(DB*MH)

 =ML^2*(AB/DB)*1/(MH/MN)

となる。あとはAB/DB=MH/MNが示せれば良いが、既に述べた通り、∠NHM=∠BAD、∠NMH=∠ABDなのでMHN∽BADであり、これより従う。

以上より示された。◻︎


関連商品


■az487525234X
■az432001930X

■az478531107X


関連項目



最終更新日: 14/12/31 05:52
タグ検索 パソコン版を見る


[0]TOP
ニコニコ動画モバイル
運営元:ドワンゴ