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モンティ・ホール問題


ヨミ: モンティホールモンダイ
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モンティ・ホール問題とは、確率論の有名な問題の一つ。
問題の内容自体は単純明快であるものの、「直感的な答えと、きちんと確率論に則って導き出された答えが異なる」という人が後を絶たない。
発表された当時、多くの数学者の黒歴史を産み出した。


問題


元ネタアメリカ長寿番組『Let's Make a Deal』中に登場したゲームで、それを元にスティーブセルビンがルールを明確に定めた確率の問題を作成した。
元ネタになった実際の番組での会者の行動は、セルビンの問題の厳密なルールとは異なった)→Wikipedia[外部]

その番組会はモンティホール。問題の名称は彼に由来する。

確率問題としてのルールは以下の通り。

  1. プレイヤーの前にはA,B,Cの3つのドアがあり、そのには当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
  2. プレイヤードアを1つ選択する(この時点では開かない)。
  3. モンティは正解のドア把握しており、残された2つのうちから必ずハズレの方のドアを開ける(残された2つが両方ともハズレの場合はどちらかをランダムに開ける)。
    これはプレイヤーの回答に関わらず必ず行われ、これらのルールプレイヤーも認識している。
  4. モンティは「今なら選択を変更して構いませんよ?」とプレイヤーに問いかける。

さて、このときプレイヤー最初の選択を変更するべきか、否か?


よくある間違い


これらは間違いである。
ゲームルールが異なっていたり、ゲームの一場面を抜き出して解釈した場合、間違いではなかったりする。


解答


最初にプレイヤードアを選択した時点では、

選んだ1枚のドアが当たりである確率 …… 1/3
選ばなかった2枚のドアのうちどちらかが当たりである確率 …… 2/3

さて先ほど述べたように、最初に当たりを引く確率は1/3、ハズレ確率は2/3である。
これはつまり、最初の選択のままで当たる確率が1/3、選択を変えると当たる確率が2/3であると言い換えることができる。
したがって、変更した方が2倍の確率で当たるので変更すべきである。


成り立つための要件


この問題が確率論として成立するためには「初めから正解の位置が決まっている」「モンティ外れのドアを開けるという行動必ず行う」ということを「プレイヤー決定前に認識している」必要がある。
もしもモンティが途中で正解の位置を動かすことが出来たり、外れのドアを開けない場合があるという場合、プレイヤーを正解させたいかどうかというモンティの意志が入ってきてしまい期待値の計算が成り立たない。
また、プレイヤーがそれらの要件を事前に(選択肢を変更すべきか否かの決定前に)認識していない場合、確率自体は成り立つが、プレイヤーの立場では上記の可性が除外できないためプレイヤーの知り得る情報から期待値の計算をすることが出来ない。
感覚的に納得できないのは、このあたりも要因もある。


まだ納得できないなら


話の流れを別の言葉に置き換える

ゲームの流れとしては2で「ドアを一つ選択する」、4で「選択を変える」と言う表現がされている。
しかし、よくよく考えてみると最終決定がされるのは4の時点なのであるから、プレイヤーが本当に「当たりのドアを選択する」必要があるのは4の時点であり、2の時点で当たりのドアを選ぶ必要は一切ない。
言い換えれば、2の時点でのプレイヤーは「ドアを『選んだ1つ』と『選ばれなかった2つ』」に組みわけしているだけである。
だとすれば、ゲームの流れは以下のように表記される。

  1. プレイヤーの前に3ドアがあり、当たりが1枚、ハズレが2枚ある。
  2. プレイヤードアを1枚選択し、ドアを1と2の2組に分ける。
  3. プレイヤーは以下のA/Bの行動からどちらかを選ぶ
    A「プレイヤーは1ドアの組を選ぶ。それを開ける。」
    B「プレイヤーは2ドアの組を選ぶ。そこから自動的にハズレが1つ除外されるので、残りを開ける。」

このように表記されれば、感覚的にもどちらが当たる確率が高いかは一瞭然であろう。

ドアの数を増やす

ドアの数を100枚に増やしてみよう。当たりのドアは1つで、残り99枚はハズレ
この状況でドアを1つ選んだ場合、プレイヤーが当たりを引く確率は1しかない。
つまり、逆に言えば99%確率で選ばなかった99枚のドアのうちのどこかにアタリがあるわけである。

さて、プレイヤードアを1つ選ぶと、モンティは次々とハズレドアを開けてゆく。
最終的に98枚のドアを開けた。

そして今、自分が選んでいるのは「1確率で当たりを含んでいるドア1枚」であり、の前には「99%確率でどこかに当たりを含む99枚のドアから、98枚のハズレを除去した残り1枚」が存在している。
となれば、いつ選択を変更するか?今でしょ!


この問題が有名になった経緯


元々この問題(とその解)はスティーブセルビンが『The American Statistician(アメリカ統計学者)』誌に「確率の問題」として1975年に発表していたが、1990年マリリンボスサヴァントが連載する雑誌『Parade(パレード)』のコラム欄に、読者からこの問題が投稿されたことで大々的に再注された(マリリン1986年最高IQ保持者としてギネス登録されていた)。

この時マリリン「変更すべきである。当る確率が2倍になるからだ。」と解答した。
かしこれには数多くの反論が殺到。その中には博士号所持者からの物もかなりあった。
対するマリリンは表や解説を掲載する等、理解を得るために手を尽くした。それでも反論・批判は止まず。

(前述の通りこの問は解法と同時に15年前に開されていたが、その当時も多くの反が寄せられておりその中には反論もあったのでセルビンは半年後にルールを明確にする追加の解説開していた)

話を聞いたアンドリューヴァージョニが、自前のパソコンを用いてゲームシミュレーションを数回ほど行った。
その結果は……なんとマリリンの回答と一致した。
ありえん(笑)」と反論していた多くの数学者も、これには思わず冷や。すぐさま手のひらを返した。
かくしてマリリンは、数万通にも及ぶしい反論に耐え、自らの理論が正しいという事を明したのであった。
ちなみに博士号所有者の反論のうち、いくつかは雑誌に名前付きでされてしまい、逆に嘲笑を浴びることとなった。


問題文の曖昧さについて


Parade』に投稿された質問の手紙では、この問題は以下のように書かれていた。(一部分)

(原文)Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

翻訳あなたがゲーム番組に参加していて、3つのドア選択肢が与えられているとします。1つのドアの後ろにはがあり、 他の後ろにはヤギがいます。
あなたは1つのドア(例:1番)を選び、ドアの後ろに何があるかを知っている会者が、ヤギがいる別のドア(例:3番)を開きます。 それから彼はあなたに「2番のドアを選びたいですか?」と言います。 
選択肢を切り替えることは、あなたに有利なのでしょうか?

(以下Wikipedia日本版からの引用) プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには品の新が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新ドアを当てると新がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤードアを変更すべきだろうか?

この部分だけを読んでは、会者の行動ルールの定義(会者は必ずハズレドアを開く、それはプレイヤーの最初の選択がヤギかに関わらない、会者が開くドアは3番ではなく2番もありえる、など)が曖昧であり、ルールについて誤解をする可性があった。

しかし、このParade誌の質問文には一緒にマリリンの解も印刷されているし、さらに最初のコラムへ反論が来た後にマリリンがもっと詳しく解説した後でさえも数学者たちから更に大量の反論が来ているので、問題文の曖昧さが多くの数学者たちを間違えさせた原因とは言い切れないと思われる。

(参考:Wikipedia[外部]、下記参考資料)


参考資料



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最終更新日: 21/05/01 16:02
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