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三平方の定理


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三平方の定理とは、数学の定理の1つである。ピタゴラスの定理とも呼ばれる。


概要


三角形の辺の長さに関する定理であり、直三角形の直を挟む2辺の長さをab、斜辺の長さをcとすると、a2+b2=c2が成立するというもの。

ピタゴラス」の項も参照。

おそらく数学の中でも1,2を争うほど有名な定理であり、学校で教わる前に知っていた小中学生も結構多いと思われる。

非常に汎用性が広く、例えば後述のように座標面上の2点の距離める際にもこの定理必要不可欠である。

a,b,c有理数となる場合もあれば無理数となる場合もある。(a,b,c)が全部正の整数となる場合については、(3,4,5)(5,12,13)などが有名。これについては「ピタゴラス数」の項を参照。
一方、(a,b,c)のいずれかが無理数となる場合については、(1,1,2)(1,3,2)が代表的であり、この小学校で使う三定規にも使われている。特に、直を挟む2辺の長さが1の直二等辺三角形の斜辺の長さ(1辺の長さが1正方形の対線の長さともなる)が無理数になるという事実は、当時のピタゴラス教団を震撼させたとか…

ちなみに、この定理の逆の「三角形の辺の長さa,b,cについてa2+b2=c2が成立するならば、この三角形はcを斜辺とする直三角形である」も成立する。


応用・拡張


前述のように、この定理の応用範囲は幅広く、例えば座標面上の2点の距離める際にも使用される。
座標面上に2A(x1,y1)B(x2,y2)を取ると、その距離{(x2-x1)2+(y2-y1)2}と表される。
これは、ベクトルのノルムという概念にも応用されている。

また、このような辺の長さの関係を直三角形だけでなく、一般の三角形に拡したものに、「余弦定理」がある。
余弦定理とは、三角形ABCにおいて、

という式が成立するというものである。
ちなみに、これは2つのベクトルの差の絶対値2乗の展開式そのものである。
これは三平方の定理の拡とみることもでき、三平方の定理は余弦定理90°またはπ/2とした場合(cosが0になる)と見なすことができる。


証明


この定理には多種多様な明方法があり、明方法は数通りにも及ぶと言われている。
ここでは、明方法の一例を紹介する。

  1. a,bを正の数とし、1辺の長さがa+b正方形ABCDを考える。
  2. AB,BC,CD,DAをそれぞれa:bに内分する点をそれぞれE,F,G,Hとする、
  3. 三角形AEH,BFE,CGF,DHGは全て直を挟む2辺の長さがa,b合同な直三角形となる。斜辺であるEH=FE=GF=HG=cとおく。四EFGH1辺の長さがc正方形となる。ここで、a2+b2=c2を示すことが最終的となる。
  4. 正方形ABCD面積2通りで表すことを考える。
  5. 1辺の長さの2乗」で表す場合、面積(a+b)2となる。
  6. 正方形EFGH面積+4つの直三角形AEH,BFE,CGF,DHG面積の和」で表す場合、面積c2+4(1/2)ab=c2+2abとなる。
  7. 当然どちらの方法で表した面積も等しいので(a+b)2=c2+2abとなり、これよりa2+b2=c2が示される。

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最終更新日: 18/09/02 16:46
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