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原始関数


ヨミ: ゲンシカンスウ
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f(x)の原始関数とは、導関数f(x)となるような関数のことである。


概要


微分したらf(x)となるような関数のことを、f(x)の原始関数というのである。

例えば、x^2+x+1とx^2+xは微分するとどちらも2x+1になるので、両方とも2x+1の原始関数である。

このように、f(x)の原始関数は存在してもただ一つとは限らない。

また、任意の関数の原始関数が存在するわけではない。

しかし、f(x)が連続関数のときには、驚くべきことに以下の2つの事実が成り立つ。

f(x)が連続関数ならf(x)の原始関数は必ず存在する。

f(x)の原始関数の一つをF(x)としたとき、f(x)の任意の原始関数はF(x)+C(Cは定数)の形に書ける。

 

②はすぐに明できる。

F(x)、S(x)をf(x)の原始関数とすると

d/dx{S(x)-F(x)}=f(x)-f(x)=0

関数が0になる関数定数だから(明略)

S(x)-F(x)=C(定数)

よって

S(x)=F(x)+C

①については、微分積分学の基本定理の項で説明する。


積分


ところで、定積分abf(x)dxとは何だったんだろうか。

詳しいことは「積分」の記事に任せることにして、ここでは簡単に説明すると、

区間[a,b]を細かく分けて、細かく分けた各区間の中のf(x)の値と各区間の区間の長さをかけて足していった値のことを、∫abf(x)dxと書いたのである。

図形的には、区間[a,b]の範囲において、f(x)とx軸の間の面積(正しくは符号付き面積)の値に相当する。

ここで、aを固定してbをいろいろ変えることにより、∫abf(x)dxは変数bの関数と見ることができる。

このbを新たにxとおけば、xについての関数axf(t)dtが得られる。

※∫axf(x)dxと書いてもいいが、中身のf(x)dxのxは別にどの文字でもよくf(t)dtでもいいので、上端のxと中身のxがまぎらわしくならないように、∫axf(t)dtのように上端の文字と中身の文字は別のものにしたほうが望ましい。

 

積分abf(x)dxをめることを、「f(x)を区間[a,b]で積分する」という。


連続関数の可積分性


積分abf(x)dxは上で見たように、ある意味的に定義するが、実はそもそも積分できるとは限らない。

しかし、実はf(x)が連続関数なら任意の区間で積分できることが明できる。(ここでは、もちろんしない。)

定理だけ述べておく。

定理

関数f(x)が連続ならば、f(x)は任意の区間で積分である。


微分積分学の基本定理


この項では、微分積分学の基本定理という重要な定理について説明する。

定理(微分積分学の基本定理その1)

f(x)が連続ならば、関数axf(t)dtはxについて微分であり、

さらに∫axf(t)dtf(x)の原始関数である。

 

つまり、∫axf(t)dtをxで微分したらf(x)になるのである。

連続関数f(x)の原始関数として、∫axf(t)dtをあげればいいので、概要の①も示せたことになる。

 

定理(微分積分学の基本定理その2)

連続な関数f(x)の原始関数の一つをF(x)とすると

abf(x)dx=F(b)-F(a)

 

この定理により、定積分の値をめるには、まず原始関数をめて、

その原始関数に上端の値を入れたものから下端の値を入れたものをひけばよいのである。 

これは、多分高校から使っている方法であろう。

まとめると、抽的に定積分を定義したけど、計算するときには安心して今までの計算方法で計算すればいい、やったね。


原始関数の一覧


今まで述べたように、f(x)の原始関数はあるならたくさんあるが、定数の差しかないので、定数部分がないものを挙げる。

f(x) f(x)の原始関数(のうちの一つ)
x^n(n≠-1) x^(n+1)/(n+1)
1/x log|x|(自然対数、以下同様)
sinx(弧度法、以下同様) -cosx
cosx sinx
tanx -log|cosx|
e^x e^x
sinhx coshx
coshx sinhx
1/(x^2+1) arctanx

 


関連項目



最終更新日: 18/09/12 21:59
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