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多様体


ヨミ: タヨウタイ

多様体とは, 滑らかな曲線や, 曲線や, 閉曲面を一般化した概念である.


多様体の数学的定義


位相間 M の開集合の族 {Uα} と, 各 Uα から R への写像 φα が与えられていて, 次の条件 (i)~(iii) を満たしているとき, M をn次元位相多様体という. また, (iii) の「連続写像」を「Cr 級写像(1≦r≦ω)」に変えるとn次元 Cr 級微分多様体が定義される. (Uα, φα) のひとつひとつを局所座標, その集まり {(Uα, φα)} を局所座標系という.

(i) {Uα} は M の開被覆である. つまり, M=∪{Uα}.
(ii)φα : UαRn の像 φα (Uα) は開集合であって, φα は Uα から φα (Uα) の上への同相写像である.
(iii) Uα ∩ Uβ ≠ ∅ となる α, β に対しては,

φβφα-1φα(Uα ∩ Uβ) → φβ(Uα ∩ Uβ) (⊂Rn)

Rn の開集合 φα(Uα ∩ Uβ) からの連続写像である.


多様体を噛み砕いて言うと


まずは地球世界地図を思い浮かべてみよう. 地球は球形(正確にはほぼ回転楕円体)なので, そのまま一枚の面に正確に地球全体を描くことは出来ない. 地球全体を一枚の図に表すためにはどこかを切り離さなければならない. より精密な情報が必要な場合, その代わり, 世界をいくつかの部分に分け, それを何枚もの地図に表し, 地図帳を作る. 何枚かの局所的な地図(局所座標)を集めて大域的な間を表現しようというのが多様体の発想と言える.


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最終更新日: 15/06/14 16:06
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