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数学的帰納法


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数学的帰納法とは、自然数に関する命題明する方法のひとつである。


概要


「すべての」自然数に関する命題を示す際、nを任意の自然数として明する方法があるが、すべてが簡単にいくとは限らない。一方、1つずつ値を代入する方法をとると、自然数限個あるので有限回の手続きでは終わらない。数学的帰納法を用いれば、有限回の手続きで終了し、かつ較的容易に明できる。このことから非常に有用性の高い明法としてよく使われる。


定義


ある命題がすべての自然数nについてであることを明するには、次の2つが成り立つことを明すれば十分である。

このとき

  1. n = 0のときである。
  2. n = 0のときであるので、n = 0+1 = 1のときもである。
  3. n = 1のときであるので、n = 1+1 = 2のときもである。
  4. n = 2のときであるので、n = 2+1 = 3のときもである。
  5. n = 3のときであr(ry

となるので、全ての自然数nに対してであることがわかる。


応用


「n = 1, 2のときにであることを明して、n = k, k+1のときにであるならばn = k+2のときにもであることを示す」ことによっても、すべての自然数についてであることを明できる。nが3つ以上の値に渡る場合でも同様のことが可である。

また、「n = 1でであることを明し、n ≤ kのときにであるならばn = k+1のときにもになることを示す」というパターンもある。



最終回を見るまで寝れない


適用されない事例



極限


数学的帰納法はすべての自然数で適用できるが、nを限大に持って行った場合、つまり極限には適用されない。以下の数列は再帰的に定義されているため数学的帰納法が適用できるが、その極限はさまざまである。

例1
S[1]=1/2
S[n+1]=S[n]+(1/2)n+1

例2
S[1]=0.1
S[n+1]=S[n]+0.1n+1

例3
a[1]=1.5
a[n+1]=a[n]/2+1/a[n]

例1、例2、例3はいずれも有理数の数列である。数学的帰納法からすべての自然数nで各項は必ず有理数になり、自然数無理数が現れる事はない。
しかし、各数列の収束する極限値は、それぞれ1(自然数)、1/9(有理数)、√2(無理数)である。有理数有理数を何回足したり掛けたりしても有理数であることは変わらないが、限回の演算を施すとその限りではなくなる。
つまり、数学的帰納法は基本的に有限の自然数で成り立つ論法なのである。ある対に数学的帰納法が成り立つからと言って、その極限も同じ性質を持つとは言えない。そのため、極限とそれ以外の項の性質は全く独立考察しなければならない。


ハゲ頭のパラドックス


数学的帰納法は、日常生活における事例には当てはまらないことがある。
有名な例は「すべての人間ハゲである」という理論の数学的帰納法による明である。

⇒すべての人間ハゲである

 このパラドックス生してしまう原因はに2点ある。


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最終更新日: 18/02/15 05:13
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