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空間(数学)


ヨミ: クウカン
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数学において間とは、構造をもった集合である。


概要


数学間というと、間図形を思い浮かべる方が多いのではないだろうか。間図形は3次元間の中で図形を考えるものであり、ベクトルにも応用される。この3次元間では、距離や位置関係を考えることができ、ベクトルでは足し算や実数倍について考えることができる。

この「距離」や「位置関係」など、間内で満たしている条件を「構造」というのである。一般に間というのは、集合に構造を入れたものである。集合と構造の組として書き表されるが、構造がわかっているときには集合のみを記述して「間」という場合もある。

より抽的な間を定義する際は、具体的な間の構造のうち、考察の対となるものを抽出して、それを満たすもの全般とすることがよくある。

ちなみに、先ほどは例として3次元間を挙げたが、2次元(面)でも距離や位置関係などの「構造」を考えることができるので「間」といえる。


Rn


実数全体の集合Rと書く。Rは数直線とも言える。座標面の点は2つの実数の組みとして表されるため、座標面はR×Rと書くことができる。これをR2と書く。同様に、座標間はR3と書く。ここでの右肩の数字は次元の数を表している。

これらは、2点間の距離ベクトルの足し算、実数倍、内積も考えることができるため、間である。ではこれを、より次元の高い間に適用できないだろうか。

座標を4つ考えると、それはR4となる。イメージ的には座標軸が4本直交している感じになるが、具体的にはイメージ辛い。というかこの記事を最初に書いた私ですらイメージできない。とりあえず、なんだかわかんないけど4本直交してるんだって思っとけばいいよ。ここでの本質は数なんだから、図形的なイメージを深く考える必要はない。

3次元までは、2点間の距離を「各座標の差を2乗して、その合計に√をつけた値」と考えたが、4次元でも同じように考える。これは「4本の座標軸が直交している」という前提と、ピタゴラスの定理からわかるだろう。ベクトルの足し算や実数倍も、成分同士の足し算や実数倍と考えればよい。内積はベクトルの大きさにコサインをかけて、ってやってたかもしれないが、成分同士の積の合計として考えれば簡単に4次元にも適用できる。

次元が5以上になっても同じ。低次元間で考えていたことを座標を増やして適用する。すると、一般の自然数nに対して、Rn距離ベクトルを構造としてもつ間になることがわかる。


Cn


複素数全体の集合Cと書く。C複素数面ともいえる。C2は2つの複素数面が原点のみを共有して交わっているものである。R4の4つの座標軸を2組の実軸と虚軸に置き換えたようなもので、やっぱりイメージ辛いRnと同じようにCn間となる。しかし、同じように考えるだけではうまくいかない。

距離」は、0以上の実数値をとらなければならない。実数は2乗すると負にならないため、Rnでの距離の計算過程で、各座標の「差を2乗」しても矛盾がなかった。しかし、虚数は2乗すると負の数どころか虚数になることもある。つまり、Cnでは少しひねりが必要なのである。そこで、各座標の「差を2乗」するのではなく、「差の絶対値を2乗」する。複素数絶対値とは、複素数面において原点からの距離である。これで、距離として矛盾なく定義される。Rnでも距離を同じように定義してよいが、実数では2乗する前にわざわざ絶対値をとらなくても同じ値になる。

ベクトルとしての和と実数倍はRnと同様にしても問題はない。あとCnでは虚数倍もできる。実数複素数のことを、ベクトルに対して「スカラー」という。ベクトルは足し算とスカラー倍が定義されているのである。Rnの項で「実数倍」とだけ書いたのは、虚数倍するとRnにとどまらなくなるからである。虚数倍を許すとRnは、後述するベクトル間の条件を満たさなくなる。

Cnでの内積は、Rnと同じように定義すると矛盾が生じる。というのも、同じベクトル同士の内積は0以上の実数値をとらなければならないからだ。成分同士を掛けるだけでは、この点で矛盾が生じてしまう。そこで、掛ける成分をその複素共役な数に置き換える。これで矛盾なく内積を定義できる。


線型空間


間とは、ベクトルによって構成される間である。ベクトル間とも呼ばれる。ベクトルにも様々な種類があり、大きさと向きで表される幾何ベクトルや、成分で表される数ベクトルがある。どちらもベクトルであるが、これがベクトル本質ではない。むしろ具体例である。ベクトル本質が何であるかを考えるために、ベクトルの和とスカラー倍に関する、基本的な性質を挙げる。Vはベクトル集合Fスカラーの集合とする。

ここで、0ベクトルという。5番において、v=-uと書く。これら10個の条件は線間の公理系とも呼ばれる。つまり、これがベクトル本質なのである。概要にもある通り、性質を書き並べ、それを満たすものをすべてベクトルと言うのである。一般に、集合Vに和とスカラー倍が定義されていて上記の条件を満たすとき、VをF上の線間という。

例えば、同じ行列全体の集合は、線間になる。いずれかの成分を0に固定しても、線間になる。多項式関数全体の集合も線間になる。0のみからなる集合も線間になる。このように線間はRnCnより広い概念なのである。


基底と次元


一般に次元とは、対を記述するのに必要十分な変数の数を表す。線間において、この「変数」はスカラーのことをす。つまり、線間における任意のベクトルを、ある有限個のベクトルの線結合(スカラー倍の総和)で表すことができるとき、その必要十分な数を線間の次元という。任意のベクトルを線結合によって表せるような有限個のベクトルが存在しないとき、その線間は次元であるという。

では、どうやって必要十分性を見るのか。与えられたベクトルの線結合によって、線間のすべてのベクトルを表せるとき、これらのベクトルは線間を「る」という。これらは線間の任意のベクトルを表すのに十分な数のベクトルということである。つまりこれが十分性である。

では必要性とは何か。与えられたベクトルのうち、1つのベクトルが他のベクトルの線結合によって表されるとする。この場合、与えられたベクトルの線結合によって表されたベクトルは、先ほどの1つのベクトルを除いて考えても、線結合で表すことができる。これは、1つのベクトルが必要ないことを意味している。つまり必要性とは、与えられたベクトルのうち、どのベクトルも他のベクトルの線結合で表すことができない、ということである。より厳密には、与えられたベクトルの線結合がベクトルになるとき、スカラーはすべて0である場合をいう。これを「一次独立」という。

与えられたベクトルが線間をり、かつ一次独立であれば、それらは任意のベクトルを一次結合で表すのに必要かつ十分な数のベクトルと言える。このとき、これらのベクトルを「基底」という。基底は一意的に定まるとは限らないが、基底の数は一意的に定まる。この基底の数を次元という。例えば、R2において、(1,0),(0,1)は基底と言えるし、(1,-1),(1,1)も基底と言える。いずれも個数は2個である。つまり、R22次元である。また、次元は線間だけでなくスカラーにもよることに注意されたし。例えば、C3複素数上では3次元だが、実数上では6次元である。


内積空間


間に内積を定義できるとき、これを内積間という。計量ベクトル間とも呼ばれる。ベクトル同様、内積も抽化される。一般に、u,v∈Vの内積は<u,v>と書き表される。これは2つのベクトルの組に対して1つの値を返す関数であり、次の条件を満たす。

この4つの条件を満たすものは、すべて内積である。<u,u>は、Rnではuの大きさの2乗を意味する。一般の内積間でも、同じように考える。√<u,u>をuのノルムといい、||u||と書く。ノルムは、ベクトルの大きさという意味である。高校数学では絶対値記号で括ったが、このノルム記号も同じ意味である。「絶対値絶対値」とかではない。念のため。


コーシー・シュワルツの不等式


|<u,v>|≦||u||||v||

2つのベクトルの内積とノルムの関係性を表した不等式。内積が実数となるとき、<u,v>/||u||||v||の値が-1以上1以下である。幾何ベクトルでは、これは2つのベクトルのなすのコサインの値であったが、実数上の内積間でも同じように適用する。つまり、cosθ=<u,v>/||u||||v||をみたすθを、uvのなすと定義する。特に内積が0であるとき、2つのベクトルは直交しているという。内積間の基底が、どの2つも互いに直交し、ノルムがすべて1であるとき、正規直交基底という。

実数上の連続関数にも内積を定義できるけど、なすとか言われても何がなんだか。フーリエ級数展開とかに応用されてるけどね。


ノルム空間


ノルムはベクトルの大きさを意味するので、内積の考えを経由しなくても、「大きさ」自体を定義にすることができる。ノルムが定義されている線間をノルム間という。ノルム間において、ノルムとは1つのベクトルに対して1つの値を返す関数であり、次の条件を満たす。

内積が定義されているときには、それを使ってノルムを定義できる。よって内積間はノルム間の一部である。また、2つのベクトルu,vに対して||u-v||とすると、uvの間に距離を定義できる。


距離空間


距離が定義されている集合距離間という。距離間では距離によって「近さ」を定義することができるため、収束性や連続性といった極限を含む概念について論じることができる。ε-δ論法も使える。

一般に「2点間の距離」と呼ばれるものは、次の性質を持っている。

逆に、これらを満たすものはすべて「距離」といえるのである。集合Xにおいて、2点に対して1つの値を返す関数dが次の条件を満たすとき、dを距離関数といい、(X,d)を距離間という。

今までは線間を考えてきたが、これは線間である必要はない。しかし線間でも距離が定義できなければ距離間とは言えない。つまり、線間と距離間は別の概念である。ノルム間には距離が定義できるので、距離間といえる。線間に限らずどんな集合でも、関数dを次のように定義することで、距離とすることができる。

このように距離関数dが定義されているとき、(X,d)を離散距離間という。


近傍と開集合


距離間において、点xからの距離ε未満の点からなる集合を「xのε-近傍」という。イメージ的には、xを中心とする半径ε円盤から界を取り除いた形である。ε-近傍は、開円盤や開球とも言われる。

距離間の部分集合Aにおいて、その各点に対して十分狭いε-近傍がAに含まれるとき、Aを開集合という。イメージ的には界を含まない集合である。Aが開集合であるとき、Aの補集合を閉集合という。閉集合は、イメージ的には界に囲まれた集合である。Rにおいて開区間は開集合であり、閉区間は閉集合である。一般の距離間において集合と全体集合は、開集合でも閉集合でもある。

点xに対して、xが属している開集合をxの近傍という。xのε-近傍は、xの近傍である。

この近傍や開集合の概念は、距離間において特に重要な概念である。例えば、ε-N論法を近傍の言葉を使って次のように言い表せる。

「点列xnがxに収束するとは、任意のε>0に対してある自然数Nが存在し、n≧Nならばxnがxのε-近傍に属することである」

また、開集合の概念は位相間の定義にも使われる。


コーシー列と完備性


Xの点列{xn}が、limm,n→d(xm,xn)=0を満たすとき、{xn}をコーシー列という。コーシー列がXに収束するとは限らない。Q(有理数全体の集合)に、距離d(x,y)=|x-y|を定義し、xnπの少数第n位未満を切り捨てた値とすると、xnQのコーシー列であるが、有理数の値には収束しない。


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最終更新日: 09/07/25 22:57
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