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空間(数学)


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一般に、Xのすべてのコーシー列{xn}がXの元に収束するとき、Xを距離間という。例えば、Q備でないが、R備である。ノルム間が備であるとき、バナッハ間といい、内積間が備であれば、ヒルベルト間という。


位相空間


位相間とは、「何と何が近い関係にあるか」を表した間である。距離は定義していないが、後述する開集合で「近さ」を定義している。よって連続性や収束性を距離を考えずに論じることができる。距離が定義されていないためε-δ論法は使えない。

距離間において、開集合は次の性質をもっていた。

位相間では、これを開集合の定義とするのである。集合Xと、その部分集合(全体である必要はない)からなる集合Gに対し、次の条件が成り立つとき、(X,G)を位相間という。

このとき、Gを位相、Gの要素を開集合という。点xが属する開集合をxの近傍という。

Xが距離間であるとき、距離間としての開集合を位相間に適用しても、やはり開集合となる。このときの位相を距離位相という。また、一般の集合Xに対して、{φ,X}と2XはどちらもXの位相となりうる。前者を密着位相、後者を離散位相という。密着位相はどの2つの点も限りなく近くなる位相であり、逆に離散位相はどの2つの点も一定以上の距離を置いている位相である。離散距離間の距離位相は離散位相となる。


分離条件


2つの点や集合を、それぞれを含む開集合によって分離できるとき、分離条件を満たすという。ここでいう「分離」とは、互いに排反な2つの開集合をとることをいう。

位相間の任意の2つの点に対し、どちらか片方を含みもう片方を含まない開集合が存在するとき、その位相間をT0間という。

位相間の任意の2つの点に対し、片方を含み片方を含まない開集合がそれぞれ存在するとき、その位相間をT1間という。

位相間の任意の2つの点に対し、互いに排反な近傍がとれるとき、つまり任意の2つの点に対して分離条件が成り立つとき、その位相間をT2間という。T2間はハウスドルフ間とも言う。

位相間の任意の点と閉集合に対し、互いに排反な近傍がとれるとき、つまり任意の点と閉集合に対して分離条件が成り立つとき、その位相間をT3間という。T1かつT3間を正則間とも言う。

位相間の任意の2つの閉集合に対し、互いに排反な近傍がとれるとき、つまり任意の2つの閉集合に対して分離条件が成り立つとき、その位相間をT4間という。T1かつT4間を正規間とも言う。


最終更新日: 09/07/25 22:57
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