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群(数学)


ヨミ: グン
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数学における(ぐん, 英: group)とは、演算が定義され、その演算に関して結合法則が成り立ち、単位元を持ち、すべての元が逆元を持つ集合である。

ある集合と別の集合との構造を抽化して較することが的。一見すると全く違うようでも群を通すことで実は同一の構造を持つことが分かったりする。例えば3次元間における回転操作は群の構造を持ち、3次正方行列の特殊な部分群として表現することができる。あるいはあみだくじの組み合わせを対称群を用いて説明することができる。n次方程式の解にはガロア群と呼ばれる構造が付随し、ガロア群が単純群か否かにより代数的な解の公式が存在するかどうかが変化する。

以下では自然数(0は含まない)全体の集合N整数全体の集合Z有理数全体の集合Q実数全体の集合R複素数全体の集合Cと表すことにする。後に述べるようにこれらは(Nを除いて)群になる。

また、aが集合Aの元(=要素)であることを a∈A と書くことにする。例えば、2∈N, -3∈Z, π∈R, √2+i ∈ C などが成り立つ。


定義


集合Gがであるとは, Gにおける二項演算が定義され、次の1〜4が成り立つことである.

  1. 任意のa,b∈Gに対し, ab∈G.
  2. 任意のa,b,c∈Gに対し, (ab)c=a(bc).
  3. あるe∈Gが存在し, 任意のa∈Gに対し,  ae=ea=a.
  4. 任意のa∈Gに対し, あるb∈Gが存在し, ab=ba=e.

また, 1, 2を満たすものを半群, 1, 2, 3を満たすものをモノイドという.

…と言われてもほとんどの人にとっては何がなにやらわからないと思うので、以下で詳細に解説する。


演算


Gを集合とする。Gの元の対 (a,b) に対し、あるGの元 f(a,b) を返す対応 f を、G における二項演算(binary operation)、または単に演算という。

例えばG=N(自然数全体の集合)のとき、足し算 f(a,b)=a+b や掛け算 f(a,b)=ab はNにおける演算である。具体例で言うと自然数2と自然数3を足し算すると自然数5になり、掛け算すると自然数6になる。

しかし、引き算 f(a,b)=a-b はNにおける演算ではない。例えば a=1, b=2に対し、f(a,b)=a-b=1-2=-1 ∉ N となり自然数ではなくなるからである。範囲を自然数から整数に拡大すると引き算も演算になる。

つまり、Gの元の対 (a,b) に対して、f(a,b) は常にGの元になっていなければならない。このことを演算がGに対して「閉じている」という。足し算(加法)と掛け算(乗法)は自然数の範囲で閉じているが引き算は閉じていない。

おこれ以降、Gは演算を持つものとする。f(a,b) のことを、単に ab または a×b と書く。一般の群においては必ずしも ab=ba とはならないことに注意する必要がある。


結合法則と半群


任意のa, b, c∈Gに対し、(ab)c=a(bc) が成り立つとき、演算は結合法則を満たすといい、Gは半群(semigroup)であるという。このとき(ab)cやa(bc)を、単にabcとかく。

例と反例


単位元とモノイド


e∈Gが、任意のa∈Gに対し、ae=ea=a を満たすとき、eをGの単位(identity element)という。

Gの単位元は存在すればただ一つである。

また、任意のa∈Gに対しae=aを満たす元eを単位と呼び、任意のa∈Gに対しe'a=aを満たす元e'を単位と呼ぶ。左単位元と右単位元は両方が存在するならば必ず一致し(e=e'e=e'より)、その結果単位元になる。

単位元を持つ半群をモノイド(monoid)という。半群に上記の性質を持つ元eを導入することでモノイドにすることができる。

例と反例


逆元と群


eをGの単位元とする。a, b∈Gが ab=ba=e を満たすとき、bをaの逆元(inverse)という。

このとき、aはbの逆元である。こちらも右逆元と左逆元があるが両方が存在すれば両者は一致する。

aの逆元は存在すればただ一つである。これを a-1 と表す。単位元のように自分自身が逆元となることもある。

Gがモノイドで、Gの全ての元に対し逆元が存在するとき、Gをという。

例と反例


可換群


a, b∈G が ab=ba、つまり交換法則を満たす場合にGをアーベル(abelian group)または可換群(commutative group)という。可換群でない群を非可換群(non-abelian group)という。

ちなみにアーベル(Abel)はノルウェイ数学者で人名であるから本来なら Abelian group と書かれるべきだが、あまりに頻繁に登場するため一般名詞化され abelian group と小文字で書かれる。


群の例


群の元の個数(濃度)が有限のものを有限群(finite group)、限のものを限群(infinite group)、という。

有限群の例

この他にも、有限群は整数余りめる操作や素因数分解と深い関係を持つものが多い。具体例は「オイラーのφ関数」の記事を参照。

無限群の例

群でない例


群の論理的性質



部分群


群Gの部分集合HがGの部分群(subgroup)であるとは、HがGの演算により再び群の構造を持つことをいう。

HがGの部分群であることは、Hが集合でなく、演算と逆元を取る操作に対して閉じていること、つまり

であることと同値である。


正規部分群


部分群の中で特に重要なものの一つが正規部分群である。

群Gの部分群NがGの正規部分群(normal subgroup)であるとは、任意のg∈G, n∈N に対して g-1ng∈N が成り立つことをいう。

例えばG自身、および{e}は正規部分群となる。この2つを自明な正規部分群、それ以外をの正規部分群と言い、自明なもの以外に正規部分群が存在しない群を単純群(simple group)という。

定義から、可換群はすべての部分群が正規部分群となる。そのため、正規部分群が重要な意味を持つのは非可換群である。


剰余類と商群


Hを部分群とし、aH={ah|a∈G、h∈H}と書くことにする。これは全てのh∈Hに対しあるaを作用させた物の集合である。

aHはGの部分集合になる(eHを除いてaHは群にならない)。代表となる元a1,a2,…,ai,…,an適当に取るとGのすべての元はa1H,a2H,…,aiH,…,anHのいずれかの集合に含まれ、ai≠ajならばaiH∩ajH=Φである(複数の集合にまたがって含まれるGの元はない)。

x,y∈Gに関して、x-1y∈H → x~yを同値関係(おなじ性質を持つ元は全て同一の元と見なす。合同の記事を参照。)とすると、代表元をaiとしてx,y∈aiHとなる。aiH=[ai]とも書く。各[ai]を「Hを法とするGの剰余」と呼び、剰余類全体の集合{[a1],[a2],…,[ai],…,[an]}をG/Hと書く。

以上より、群Gを部分群Hにより分解する事ができ、G=ΣanHと書くことができる。これを剰余分解という。

Hが正規部分群の場合集合{[a1],[a2],…,[ai],…,[an]}=G/Hに対して演算を [ai][aj]=[aiaj]と定義すると部分群になる。なぜなら、定義からaH=Haであり、[a][b]=a(Hb)H=a(bH)H=abH=[ab]∈G/Hであるため。単位元はeH=[e]である。
G/Hの成す群を商群または剰余という。Gが有限の場合、Nの元の数はGの元の約数となっており、剰余群の名称の由来ともなっている。

特に断っていはいなかったが、以上はHに対してaを左から作用させているため左剰余類であり、Haで分類すると右剰余類と呼んでG\Hという紛らわしい記法で表現する。Hが正規部分群の場合は左右の区別がない。


準同型写像


G, G'を群とする。GからG'への写像 f:G→G' が群の演算の構造を保存するとき、群準同写像(group homomorphism)、あるいは単に準同写像という。つまり、Gの任意の元a, b に対して

f(ab)=f(a)f(b)

が成り立つことである。

さらに、準同写像fが全単射であるとき、fは写像という。

Gの単位元および逆元は準同写像によってG'の単位元および逆元に写される。つまり、f(e)=e'、f(a-1)=f(a)-1が成り立つ。ただしGの単位元をe, G'の単位元をe'と表記した。


核と像


f:G→G'を準同写像とする。先程、Gの単位元eはfによりG'の単位元e'に写されると述べたが、一般にはe'に写される元は一つとは限らない。e'に写されるGの元の集合をfの(kernel)と呼び、Ker(f)と書く。

つまり、Ker(f) = {a∈G | f(a)=e'} である。Ker(f)はGの正規部分群である。

Gの元aを用いてf(a)の形で表せるG'の元の全体をfの(image)と呼び、Im(f)と書く。

つまり、Im(f)={f(a) | a∈G} である。Im(f)はG'の部分群である。




同型写像


準同写像の内、全単射(1対1対応)なものを特に写像(isomorphism)と呼ぶ。

群GとG'の間に同写像 f:G→G'が存在するとき, GとG'はである(isomorphic)といい、G ≅ G'と表す。

であるということは、一見異なるような群であっても根本となる構造が全く同じであるということである。

これを応用すると、例えば整数の構造を持つ集合本質的に一つしかない(同写像を通して一致させることができる)という事が言える。


準同型に関する定理


準同に関する特に重要な定理が以下の3つである。

準同型定理

G, G'を群、fをGからG'への準同写像とするとき、G/Ker(f) ≅ Im(f)。

つまり、GからG'への準同fが存在するとき、Gをfの核で割ることでIm(f)と同にすることができる。これは次の第一同定理の特殊な場合である。

第一同型定理

G, G'を群、fをGからG'への準同写像とする。N'をG'の正規部分群とする。このとき、f-1(N')はGの正規部分群であって、G/N≅G'/N'。


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最終更新日: 19/04/19 07:28
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