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自然対数の底


ヨミ: シゼンタイスウノテイ
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自然対数の底(しぜんたいすうのてい)とは、

   2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...

と表される超越数である。「しぜんたいすうのそこ」ではないので注意。

一般的に

limn→(1+1/n)n…①

で定義される値である。
もしくは

limn→0(1+n)1/n…②

で書く場合もある。 
これは高校大学等によって異なる時もあれば両方教える時もある。

また、

Σ(n=0→)(1/n!)=1+1+1/2!+1/3!+… …③

の計算でもめることができる。


概要


慣習的にアルファベットの e で表される。

対数の研究に業績のあるイギリス数学ジョン・ネイピアの名前から「ネイピア数」とも呼ばれる。レオンハルト・オイラーの業績により「オイラー数」とも呼ばれる。

指数関数対数関数微分を考えたときに、この数を考えることが避けて通れないのである。実際、a > 0, a ≠ 1 のとき

という性質があり、これらの性質より、

などのことが分かる。

特に、反例のグラフy=1/xの下の面積を用いた説明は、微分積分を習っていない中学生などにも分かりやすい説明であろう。

また、指数関数exテイラー展開

と表され、これにx=1を代入したのが上記の③の式である。

このように、微分において非常に扱いやすい数であるため、数・対数関数というとeを連想する人も多いだろう。exexp(x)、loge xをlog xと書く場合もある。しかし、log xは常用対数でも用いられるので、混同を避けるためln xと書くこともある。

また、この数字は、確率論にも登場する。

「n本中1本のみが当たりのくじをn回引いて当たりが1回も出ない確率」を考える(なお、引いたくじは元に戻す)。

1回引いて当たりが出ない確率は(1-1/n)であり、n回引いて1回も当たりが出ない確率は(1-1/n)nとなる。

n→とすると、この確率は1/eに近づくことになる。

また、「1~nの番号のついたカードを、1~nの番号のついた封筒に入れる時、カードと封筒の番号が1組も一致しない確率」「n人のクラスで席替えをするとき、前と同じ席の人が1人もいない確率」などを考えると、導出過程は省略するが、この確率Σ(k=0→n)(1/k!)(-1)kと表され、n→とすると、この確率は1/eに近づく(上記のテイラー展開の式にx=-1を代入した形となる。)。

wikipedia完全順列[外部]」も参照。

また、自然対数の底を用いた公式としては「オイラーの公式」が知られている。

iを虚数単位(i2=-1)とするとき、θラジアンに対し

eiθ = cosθ+ i sinθ

これにおいてθ=π(円周率)の時は「オイラーの等式」と呼ばれ、数学の式の中でも最も美しいものの中の一つに数えられる。

eiπ + 1 = 0


求め方


理系でないと知らないようなこの数だが、普通電卓でも割と簡単に計算できる。手順は次の通り。

なお、このめ方は、上記の③の式を利用したものである。

ちなみに、③の式は収束が速いが、①②の式は収束が遅く、計算には適さない。

  1. [MCを押す。
  2. 1[M+] と入する。
  3. そのまま ÷1[M+] と入する。
  4. さらにそのまま ÷2[M+]÷3[M+]÷4[M+]… と続ける。
  5. 表示が 0 になるまで繰り返す。
  6. [MR] を押す。

但し、表示される下何桁かは誤差を含んでいるので要注意。


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最終更新日: 18/09/04 12:53
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