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連続体仮説


ヨミ: レンゾクタイカセツ
掲示板をミル!
19カキコ!

数学における連続体仮説とは

 「可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの?仮説

の事である。


概要


 
 .┌、               (_  /             ミ 
  !. | ヾ>    連      〈/`ヽ _               ミ 
  |. !  ノ|           ,イ,.- 、 |  ̄_ ̄丁 '' ー┬‐- -ミ 
  ヽ二/   .        /,|.l  l ! (  ) ! (´ ) !  r‐ 
    ry'〉          /イ,! `ー' _L =- --┴-ニ二ト、_'ー' 
   lニ', r三)   続   |'J」-''_二 =-- ‐一 ー‐t‐-ト、 二__ 
     |_|          レ'/´ィ 、_________  ヾミ| l 
  _r┐ __            V ,、 F三r一tァー,    | l:.:. .:: 
 └l. レ',.-、ヽ        |ノ^>、     '^ミ二´    | l:.:.:.:: 
  ノ r' __,! |    体    V/イソ            .::ヽ、二_ 
 └'!_| (_t_メ.>          | / ,'    _        .:.:.:.::i|,)ノ 
    r-、            |.〈、 、 _〉 `、     ;:ィil| ノ 
   ,、二.._           |  yfミミミミヾ、     '!l|il|li!fj' 
   ーァ /.    濃     ヽ |i''r ''_二二ニミ;ヽ、  ,|l||il|l|,「゚| 
   ん、二フ         |,l| V´ :::::::::;;/     トi|l|i|i|l|!Ll 
   ,.-─-.、         |i! ゞ=-‐''"     ,i||i|l|l|l|!|i{ 
  / /l .i^ヽヽ         |il!  ーォii|「、 ,,.,.ィi||l|i|l|l|i|l|シ' 
 . | .レ' /  l.|  度    ,/i|l||livil|||l|i|l|l|lil|l|i|l|i|i|i|l|l|l|{' 
 . ヽ/   ノノ          {l|!|l|i|l|i|l|i|||i|i|l|i|i|i|i|l|l|!|l|l!r' 
  r┐,.─-、          ヾ!||i|i||i|i|l||l||i|i|l|l|l|l||l|l!イ 
  ||し'^) ,!           ``,ヘi|l|i|l|i|l|l|i|r`"´ i      , 
  |_|   l´r'           (_~`^~"゙'ヾ     ノ   / , 
  [_]  [_]            .ト─'     ノ      / /i

                   ゲオルク・カントール(1845-1918)


説明 



無限集合


1,2,3,4,5}この集合は有限集合である。
一方、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12..............................(以下永遠に続く}
のように集合の要素が限にある集合集合という。


濃度


集合大きさのようなものを示す尺度。

有限集合ならば要素の数が多い、少ないといった具合で集合の大小関係を知ることができる。
しかしながら集合の場合、要素数はどれも限であるからして要素の数をカウントして大小を論ずることはできない。このため、濃度という概念が考案された。まあ、大きさと思っていい。

まず、集合のうち一番小さいものは可算無限集合というシロモノで、この集合の濃度を可算濃度と呼ぶ。これを濃度レベル0とする。
0を初めとして、次に大きい集合の濃度をレベル1、その次をレベル2、その(ry とすると

レベル0<レベル1<レベル2<レベル3・・・・・・・・・・・・ という感じに濃度レベルランキングが設定される。 

もっとも、本当はレベルという言葉じゃなく、ℵ(アレフ) というヘブライ文字を使って以下のように書く

0, ℵ1,ℵ2,....  (アレフヌル、アレフワンアレフツー・・・・)

こんな具合だが、取っ付きにくいので本項ではレベルで通すことにする。


可算濃度


自然数全ての集合奇数全ての集合などが属する集合の濃度。レベル0、最小の濃度である。

自然数集合 1,2,3,4,5,6,7............. 正の整数をすべて集めた集合
素数集合 2,3,5,7,11,13....... 数えると心が落ち着く数の集合
有理数集合 1,1.33333333,1.44444,... 実数のうち無理数を除いたもの。整数、有限小数、循環小数など。

など。普通の人が思い浮かべる限は大抵コレ。上記すべての集合の濃度は等しく、これが可算濃度と呼ばれる。

可算とは数えられるという意味で、可算濃度集合の要素は1つ1つ数えることができるのである。
 

いやいや自然数の集合よりも有理数の集合の方が大きいだろ?jk

と感じられるが、集合の濃度というのはそういうものである。そのように定義されているのでしょうがない、これが有限集合の個数とは違うところである。

自然数集合の要素と上記の有理数を含む他の集合の要素の間には、1対1の関係があることが明らかに示されるため、みんなしぶしぶ納得したという。


連続体濃度


実数すべての集合が属する集合の濃度。文字通り可算濃度とは一線を画す存在である。

とあるロシア出身の数学者の研究により、連続体濃度は可算濃度よりも大きいことが対角線論法というチートツールを使って明された。

つまり、連続体濃度レベル0ではなく、それよりも大きい。

 
::::::::        ┌─────────────── ┐
::::::::        |  可算濃度がやられたようだな….  │
:::::   ┌───└───────────v───┬┘
:::::   |フフフ…限基数の中では最も小物 ….│
┌──└────────v──┬───────┘
|グラハム数如きにやられるとは │
|限の面汚しよ…         │
└────v─────────┘
  |ミ,  /  `ヽ /!    ,.──、
  |彡/二Oニニ|ノ    /三三三!,       |!
  `,' \、、_,|/-ャ    ト `=j r=レ     /ミ !彡      
T | / / ̄|/´__,ャ  |`三三‐/     |`=、|,='|    _(_
/人 ヽ ミ='/|`:::::::/イ__ ト`ー く__,-,  、 _!_ /   ( ゚ω゚ )
/  `ー─'" |_,.イ、 | |/、   Y  /| | | j / ミ`┴'彡\ '    `
 弱到達不能基数  アレフ100   アレフ8   連続体濃度


へー、じゃあ連続体濃度のレベルはいくつなのよ?1なの?


「連続体濃度のレベルは1である。」

この連続体仮説である。
つまり、レベル0の次であるレベル1であれば0より大きい最小のレベルということになる。
しかし仮説というだけあって、偽は不明。2とか9とかかも知れない。件の数学者は自分で提唱したこの仮説を生涯をかけて明しようとしたが、結局果たすことなく鬼籍に入った。

これが明されれば、連続体仮説晴れ連続体定理と呼ばれることになるだろう。


☆もうすこし単純化した説明☆


可算濃度というのは一つ一つは有限の長さしかない記号列はどれだけあるか?ということを表している。整数有理数も大してかわらーん!

一方、連続体濃度は3.1415...のように一つの数字を表すのさえ限の記号列が必要なものが、それはたっぷり、それはそれはたっぷり詰まっている。

さて対角線論法を終えた先生はこう考えるわけである。

「有限列の総数よりは多く、(普通の)限列の総数よりは少ない、そんな中途半端な濃度ってありえないよね?」

なにぶん相手は限なので、全体を2倍や3倍、有限倍したぐらいでは濃度は増えてくれない。とすれば、最低でも次のステップは『限×限(ナンダソレー!)』なのだが、それってベキ濃度としか思えんよなぁ、というのが連続体仮説だった。南三。


 だがしかし・・・・


先ほどのロシア出身の数学者の没後半世紀ほどたった後、

「連続体仮説は(現在数学組みでは)明も反不可能

ということが明された。

お後がよろしいようで。


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最終更新日: 14/08/25 22:58
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