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37


ヨミ: サンジュウナナ
掲示板をミル!
6カキコ!
37
二進表記 100101
八進表記 45
十二進表記 31
十六進表記 25
ローマ数字 XXXVII
数字 三十七
36 ← 37 → 38
テンプレートボックス

37とは、36の次、38の前の自然数である。

同名の生放送主はこちら


性質



数学的な性質



その他の性質



37の倍数判定


37は素数であるため、2, 3, 5, 7…と試し割りをする方法で素数判定を行う際、37の倍数判定が必須となる。ペンしか与えられていない状況や、暗算しか使えない状況において、37の倍数判定は大変重宝するだろう。


1000未満の数を判定する


まず、1000未満の37の倍数として次の値を覚えておく。

37, 74, 111, 222, 333, (370,) 444, 555, 666, (740,) 777, 888, 999

つまり、37の2倍、3倍の値と、111(=37*3)の倍数である。74111さえ覚えておけば問題ない。370と740は覚えられるようなら覚えておく。

例として、629について37の倍数判定を行う。629より小さい手頃な37の倍数は555である。629-555=74であり、74は37の倍数である。したがって、629は37の倍数である。

またこの技術を応用して、とある数と覚えている手頃な37の倍数との差が37未満であればその数は37の倍数でないことがわかる。例えば775は37の倍数である777との差が2しかないので37の倍数ではない。


1000以上の数を判定する


1000以上の数について判定する際は以下の知識が必要になる。

1000 = 999+1 = 37*27+1

999が37の倍数であることを知っていればすぐに分かるはずである。これを用いると、次のような性質が成り立つ

判定したい数Iを
 I = 1000nan + … + 10002a2 + 1000a1 + a0
とおく。ただし、nは非負整数、ak(kは整数で0≦k≦nを満たす)は0以上999以下の整数
このとき、Iを37で割った余りはan + … a2 + a1 + a0を37で割った余りに等しい。

証明

 I
=1000nan + … + 10002a2 + 1000a1 + a0
=(37*27+1)nan + … + (37*27+1)2a2 + (37*27+1)a1 + a0
=37Nnan+ … + 37N2a2 + 37N1a1 + (an + … + a2 + a1 + a0)
  (ただしNk(kは自然数)は自然数で、N1=27, N2=27027, N3=27027027, …と具体的にめられる)
=37(Nnan+ … + N2a2 + N1a1) + (an + … + a2 + a1 + a0)

(Nnan+ … + N2a2 + N1a1)は整数であるから、37(Nnan+ … + N2a2 + N1a1)は37の倍数となる。したがって、Iを37で割った余りは(an + … + a2 + a1 + a0)を37で割った余りに等しい。

活用してみる

試しに2998591が37の倍数であるかを判定しよう。

上記の性質を用いると2+998+591が37の倍数であるを判別すれば良いのだが、1591を判別するのは少々煩雑である。そこで、998=999-1と591=555+36を用いれば、
 2+998+591
=2-1+36+999+555
=37+999+555
となり、999555が37の倍数であることから、2+998+591は37の倍数であり、2998591も37の倍数であることがわかる。実際に計算する際は2と-1と36さえ覚えていれば問題ない。


37を活用した問題


せっかくなので37を用いて入試問題を解いてみよう。

2以上の整数m, nは
  m3+13 = n3+103
を満たす. m, nをめよ.

(2009年 一橋大学 前期数学大問1)

以下反転ヒント

移項してみると「m3-n3 = 999」となる。左辺は(m-n)(m2+mn+n2)となり、自明にm>nであるからどちらの項も自然数である。右辺の999はここまで読んでくれたならきっと素因数分解できるはずだ。
「(自然数)×(自然数)=999」となるパターンはそう多くはないのであとは総当たり。偶奇性を調べたり置き換えなどを行うことで多少はパターンを減らすことができるが、してもしなくてもいいだろう。


関連項目



37に関連すること



その他



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最終更新日: 19/03/09 12:53
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