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Sardの定理


ヨミ: サアドノテイリ
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Sardの定理(Sard's theorem)とは可微分写像の臨界値の測度に関する定理である。


定理の主張


f : M → N  を、m 次元 Cr 級第二可算多様体 M から、n 次元 Cr多様体 N への Cr写像とする。

このとき、rmax(m-n+1,1)ならば 、f の臨界値の集合 f( Cf ) は測度が 0 である。


解説


この定理の条件 r ≧ max(m-n+1,1) を覚えることにはあまり意味がない。多様体論において扱われるのは多くの場合C写像だからである。写像がC 級の場合の明は[2]に見通しの良い明が載っている。(ポントリャーギンによる明らしい)微分性が一般の場合の明はSardの定理の原論文である[3]や、[1]に記述されてており、参考文献[0]には原論文の方針に沿った明が解説されている。

参考文献[0]は微分性の制限も込めた場合のSardの定理の明が日本語で書かれている一の文書だと思われる。

応用上、f( Cf )測度は 0 ということよりも、「測度0の集合の補集合は稠密である」ということを用いて、f( Cf ) の補集合、つまり正則値全体が稠密であるということをよく用いる。正則値というイイ感じの点がが稠密になっているというのが、この定理の嬉しいところである。

f : M → N  が十分高い微分性をもてば臨界値の集合 f( Cf ) の測度は 0 であるということが定理の要点である。例えば、fC 級なら、そうなっている。


参考文献 


[0]S.スターバーグ著,高橋恒郎訳,微分幾何学,吉岡書店,数学業書,1974(微分性の制限も含めた、Sardの定理の明が載っている)

[1] B.Malgrange, Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics 3, Oxford University Press, 1967

[2] J.Minor,Topology from the differentiable viewpoint,Section3,The University Press of Virginia,1965(邦訳が「ミルナー微分トポロジー講義」として出版されている)

[3] A.Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942, pp883-890


外部リンク



最終更新日: 16/10/14 19:59
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