ゼノンのパラドックスとは (ゼノンノパラドックスとは) [単語記事]

この項目は以下の点が不足しています。
ゼノンの対立思想、及び、そこからゼノンのパラドックスを導く過程の詳細。
加筆、訂正などをして下さる協力者を求めています。

ゼノンのパラドックスとは、時間と空間の実在性を否定するためのパラドックスのことである。「アキレスと亀」が有名だが、一般人向けに違った解釈で広まっている → アキレスと亀。

概要

ゼノンは、師パルメニデスの「唯一不動」の思想に影響を受け、その考えを弁護するために、ある仮説を唱えた。これが有名な「ゼノンのパラドックス」である。ゼノンはここから背理法により時間と空間の実在性を否定しようとした。

なお、ゼノンは「ゼノンのパラドックス」から導き出される結論が正しいと主張したかったわけではない。相手の主張から「ゼノンのパラドックス」という運動が不可能になるという明らかな矛盾が導き出されることを示すことで、背理法によって時間と空間の実在性を否定しようとしたのである。

詳細

ゼノンのパラドックスは四つ存在する。

二分法

ある地点Aからある地点B0へ移動することを考える。
AからB0へ移動するためには、AとB0のちょうど半分の位置にある点B1に移動しなくてはならない。
AからB1へ移動するためには、AとB1のちょうど半分の位置にある点B2に移動しなくてはならない。
AからB2へ移動するためには、……（以下同様）
以上のように、AからB0へ移動するためには、無限の点を移動しなくてはならない。
無限の点を移動するためには、無限の時間が必要である。
これは不可能である。よって、AからB0へ移動することはできない。

アキレスと亀

アキレスと亀が競争することを考える。
アキレスは亀よりも走るのが速いので、ハンディキャップとして、亀はアキレスの位置から少し進んだ地点Aから走ることにする。
アキレスがAに到着したとき、亀はAよりも少し進んだ地点Bに移動している。
アキレスがBに到着したとき、亀はAよりも少し進んだ地点Cに移動している。
アキレスがCに到着したとき、……（以下同様）
以上のように、アキレスがある地点に到着したとき、亀はそれよりも少し進んだ地点に移動している。
よって、アキレスが亀を追い越すことは不可能である。

飛ぶ矢

矢を放つと、矢は飛んでいるように見える。
しかし、飛んでいる瞬間を捉えると、矢は常に静止している。
よって矢が飛ぶことは不可能である。

競技場

競技場において、一瞬の間に1単位の距離を移動することのできる二台の馬車を考える。
二台の馬車は、それぞれ反対の方向に移動するものとする。
二台の馬車が一瞬の間に移動したとき、それぞれ1単位の距離を移動している。
しかし、馬車に乗っている人間から見ると、自分の動いた分の1単位と、もう片方の馬車の動いた分の1単位で、2単位分の距離を移動したように見える。
これは矛盾である。よって馬車が1単位の距離を移動することは不可能である。

補足

二分法やアキレスと亀は「無限回足し合わせる作業は有限時間内に終わらない（作業にかかる時間は有限の最小単位を持つ）」、競技場のパラドックスは「時間、空間に最小単位がある」という前提にたつと生じる矛盾であり、飛ぶ矢のパラドックスは「運動している物体の時間経過0の一瞬においては移動距離0、0をいくら積算しても0、だから物体の運動は存在しない」つまり最小単位がないなら運動は起こらない、と主張する矛盾である。

実際はアキレスは亀を難なく追い抜くことができるし、矢は止まることなく飛んでいくことができる。いずれの場合も現代の数学からみれば無限と極限の扱い方が不十分なために起こる疑似的な矛盾であり、適切に議論を展開すれば矛盾は解消される。ただし、高校までの数学では無限や極限を正確に説明できないため、矛盾を解消する手続きの基本的な原理は少なくともε-δ論法を理解している必要がある。