ε-δ論法とは (イプシロンデルタロンポウとは) [単語記事]

ε-δ論法とは、解析学において極限を実数を用いて厳密に定義する方法である。

定義

高校において、極限の定義は以下の通りだった。

xがaに限りなく近づく時、関数 f(x)の極限がbならば次の様に表記する。

　lim[x→a] f(x)=b

ε-δ論法を用いて、これを次の様に定義する。

　lim[x→a] f(x)=b　⇔　∀ε>0,∃δ>0 s.t. ∀x∈R, 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε

これを日本語にすると、「xがaに限りなく近づく時、関数f(x)の極限がbである」とは「”aに対する誤差が、0ではないがδ未満である全ての実数xについて、bに対するf(x)の誤差がε未満”となる様に、任意の正の数εに対してある正の数δが取れる」である、となる。

あまり直感に訴える述語じゃないので、「大学数学についていけるかどうかはここが境目」と言う人も少なくはない。

何故嫌われる？

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

高校数学ではこの様な述語論理を取り扱う機会は少ないので、大学数学まで手を出すド変態計算好きでもない限り意味が不明である。

また、高校数学の問題は様々な公式や定理を駆使して解を導く所謂「パズル問題」であったが、この論法を使いこなすのに求められるのはとにかく「理解度」である。高校数学のノリを大学数学に持ち込み出鼻を挫かれる大学生は少なくない。

現実に「これを教えて数学への好奇心、勉強意欲が無くなってしまうなら教えない方がいいのでは…」と自粛してしまう数学教授や教師もいる。しかしながら、反対に極限や微積分についての理解を深める為にこの論法が不可欠という意見もあるのが現実だ。

実際、高校までの「直感的な説明」では数学的に説明し辛い事が多々ある。
「数列{x_n}がaに収束する時、(x₁+x₂+…x_n-1+x_n)/nは一体どうなるのか？」等は最たる問題ではないだろうか。
その為、この様な問題に立ち向かうには計算に使える厳密な定義が必要なのだ。

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逆に言えば、この論法を理解する事で解析学や微積分、連続と一様連続の違いや一様収束等、見えてくるものが様々ある。改めて無限小・無限大を認識しよう。

論法の「形」を見る

述語論理に不慣れな人向けに、もっと丁寧に説明する。
使い方が気になるのであって、意味は理解できるという方は読み飛ばしてもらって構わない。

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

「そんで、なんなんこれは」と言いたくなるこの式だが、勿論ただ数学者が嫌がらせの様に記号を並べてる訳じゃなく、意味があっての論理式である。記号１つ１つに意味があり、その記号の組合せが文章となり定義となる。
初歩的な述語論理の読み方は「∃」の記事で取り扱っているので是非読んでほしい。

左から順に解読していこう。

　　∀ε＞0　　⇒　すべての数・イプシロン・０より大きい　⇒　全ての、０より大きい数ε　⇒　任意の正の数ε

　　∃δ＞0　　⇒　ある数・デルタ・０より大きい　⇒　ある、０より大きい数δ　⇒　適当な正の数δ

合わせて読めば、「任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在する」となる。これがこの論法での主人公２人の紹介文である。「s.t.」を飛ばして続きを読もう。

　　∀x∈R　　⇒　すべての数・エックス・属する・実数　⇒　実数に属する全ての数x　⇒　全ての実数x

ここで、0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε　を　A⇒Bと略す事にする。意味は「AならばB」だ。
xはA⇒Bについての詳細記述みたいなもので、合わせて「Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」となる。

また、s.t.は "such that" の略で、「P s.t. Q」の意味は「Qとなる様なP」である。
ここまでを全部繋げると、∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, A⇒B　の意味は

「Aを満たす全ての実数xに対しBが成り立つような任意の正の数εに対するある適当な正の数δが存在する」

なのだが、読みにくいので前後をひっくり返し

「任意の正の数εに対してある適当な正の数δが存在するとき、Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」

とする。砕けた言い方をすると

「どんな正の数εがあっても、うま～く正の数δを取れば、Aが成り立つ実数xではBも成り立つんやで。」

う～ん、なんとなく感じ取れたのではないだろうか？
これはあくまで形だけなので、「つまりそういう物だな！」という外殻さえ掴み取れれば十分である。

重要なs.t.後の内容についてだが、|x-a| や |f(x)-b| は誤差、εとδはそれぞれの誤差の幅を表してると思ってもらうと分かりやすい。

0<|x-a|<δ　を組み替えれば　0<δ　かつ　a-δ<x<a+δ　である。
|f(x)-b|<ε　を組み替えれば　b-ε<f(x)<b+ε　となる。

εを小さく取っていくという事は、右図を見ると赤い縦幅（ε近傍と呼ぶ）をどんどん狭めて行く事だと分かる。それに応じて青い横幅であるδはε近傍が取りうる幅に覆われる様にxを取る幅を決めればよい。ただし、δ=0と取るのは禁止である（限りなく近づくとはそういう意味である）。

論法の「例」を見る

いきなり関数による例は理解するのは少し難しい為、最初は簡単の為数列の収束を用いて説明する。よって次の通り。

数列{x_n}がaに収束する、もとい　lim[x→∞] x_n=a　ならば

∀ε>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ |{x_n}-a|<ε

こちらを日本語にすると「任意の正の数εに対して、"mより大きい全ての番号nについてx_nとaの誤差がε未満に納まる"様な番号mが取れる」となる。δがmにすり替わってる様な気がするが意味はない（儀礼的なもの）。
しばしばε-δ論法の述語は目的や状況によって変化したりするが、意味さえ理解すればそれが効率的なのが分かる。

上の述語をε-m論法やmの変わりにNを使ってε-N論法と言ったりするが、どの文字を使うかは皆さんの自由である。
_{文字なんて飾りです　偉い人にはそれが分からんのですよ。}

ここで実際に例を与えてみよう。数列{x_n}={1/n}とし、n→∞ のとき x_n→0 となる事を示す。
つまり　∀ε>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ |1/n-0|<ε　を示せばよい。

さて、先程「εとδ（今はmだが）はこの論法における主人公」と記したが、それならばこの２人には折角なので会話してもらおう。

適当な番号m「やぁ、イプシロン」

任意の数ε「ご機嫌麗しゅうエム」

m「今の君はいくらなんだい？」

ε「今の私は1/2でございます。」

m「成程、じゃあ私は2を取ろう」

ε「問題ありません。それでは御機嫌よう」

m「また会おう」

今、任意の正の数εが1/2なのに対して適当な番号mは2を取った。
勿論これはmが適当に考えて2を取ったのではなく、キチンと考えて2を取ったのだ。

では実際に当てはめてみよう。

「n>m　ならば　|1/n|<ε」　にそのまま当てはめると　「n>2　ならば　|1/n|<1/2」となる訳だが、これは成り立つ。
n=3,n=4,…について考えてみると、n=3のとき|1/3|<1/2は成り立つ。n=4のときも|1/4|<1/2となり成り立つ。
これ以降も同様にして成り立ちそうだ。

つまり、ε=2のとき、s.t.以降が成り立つ様なmが取れそうだと分かった。

この要領で他の数でも成り立つ事が言える。収束すると言うにはどんな正の数εに対してもmが取れる事が示せれば良いのだが、こんなのを１つ１つ言ってたら骨が折れるどころか肉体が朽ち果てる。
mをεで表す事が出来ないだろうか…？

ところで、決して任意の数εを取る前にmを決めたり等してはいけない。以下の様な事が起こってしまうからだ。

m「今日の私は5の気分だ」

ε「今日の私は1/10なんですが…」

m「えっ」
ε「えっ」

今、適当な番号mは任意の数εを取る前に数を決めてしまった。
これによって「n>5　ならば　|1/n|<1/10」となってしまうのだが、これはn=6の時明らかに偽である。
証明を行う際は、正の数εを任意に取るのが最優先だ。約束だぞ！

論法で「収束」を見る

先程の続きで　∀ε>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ |1/n-0|<ε　を示してみよう。

m「毎日毎日君に合わせて値を選ぶのは疲れた」

ε「はあ」

m「そして毎日やってる内に、私は君に対して1/εより大きく取れば成り立ちそうな気もしてきた」

ε「私の逆数ですか」

m「じゃあ私は今後"1/εより大きい整数"なので一々聞きに来ないでくれ　それでは」

ε「ああそんな」

今、任意の正の数εがどの様な数でも番号mは1/εより大きい整数を取るとした。

この時述語は「m>1/ε　で　n>m　ならば　|1/n|<ε」となる。m>1/ε　と　n>m　より　n>1/ε　が言えるので、両辺で逆数を取り　1/n<ε　となる。nは番号で常に自然数を取るので、1/nも常に正の数を取るので1/n=|1/n|である。よって|1/n|<εが言えたので、∀ε>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ |1/n-0|<εが成り立つと言える。

よって、数列{x_n}={1/n}がn→∞の時、0に収束する事が示された。

論法で「収束」を証明する

とりあえず上で言った内容を簡潔に証明の形にする。

[命題]
{x_n}={1/n}の時、lim_[n→∞]x_n=0を証明せよ。

[証明]
命題はε-m論法より次の様に言える。

(目標)　∀ε>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ |1/n-0|=|1/n|<ε

正の数εを任意に取り、mを1/εより大きい整数と置く。
n>mと仮定すると　n>1/ε　∴　1/n<ε
n>0なので1/n=|1/n|

よって|1/n|<ε

論法で「発散」を証明する

今度は数列{x_n}が無限大に発散する時を、ε-δ論法を用いて説明する。
この時用いる論法は次のもの。

∀K>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ x_n>K

（日本語訳）
任意の正の数Kに対して、"mより大きい番号nについてx_nがKより大きい"となる様な番号mが取れる

もうε-δの字が見えないが、立派にε-δの形を則っている。
ここで数列{x_n}={√n}が、n→∞の時x_n→∞に発散する事を上の論述を用いて説明しよう。

K=1　のとき　m=1　と取れば　mより大きい番号nについて　√n>K　∴　√1+c>1　（Cは自然数）
K=2　のとき　m=4　と取れば　mより大きい番号nについて　√n>K　∴　√4+c>2
K=4.5　のとき　m=21　と取れば　mより大きい番号nについて　√n>K　∴　√21+c>4.5
K=10のとき　m=100　と取れば　mより大きい番号nについて　√n>K　∴　√100+c>10

なんとなくKがどんな値を取ってもそれに対してmは値を取れそうだが、延々と羅列し続けても実質的な解決にはならない。　しかしmをどのようにして取ればよいかは感じ取れたはずだ。
証明するにはmをKで表せれば解決するのだが…？

[命題]
{x_n}={√n}の時、lim_[n→∞]x_n=∞を証明せよ。

[証明]
(目標)　∀K>0,∃m∈N s.t. ∀n∈N n>m ⇒ √n>K
正の数Kを任意に取り、mをK²より大きい整数と置く。
n>m　と仮定すると　n>K²　∴　√n>K

証明は基本的には前件（AならばBのA）のみを用いて後件（AならばBのB）を導く事が筋道である。
逆に、後件を証明に用いてしまったり前件以外を仮定してしまうと、それは証明として不確かなものになってしまう。
証明方法の考え方と証明の手順があべこべになりやすいε-δ論法ではより注意が必要だ。

論法で「一様連続」を見る

ここでは「一様連続」についても説明していく。連続と一様連続の定義については以下の通り。

連続の定義

視覚的に言えば、関数のグラフが繋がっていて切れ目がない時に連続という。
数学的に言えば、関数値f(a)と極限値lim[x→a]f(x)が共に存在し、一致する時f(x)はx=aで連続である。という。
また、∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-f(a)|＜εが成り立つ時も同様に点aで連続である。と言える。

例

y=x　…　全て実数xにおいて連続である。
y=1/x　…　f(0)において値が定まらないので、x=0で連続でない＝不連続である。

連続である ⇒ 微分可能である　は成り立たないので注意。代表的な例として「ワイエルシュトラス関数」が挙げられる。ワイエルシュトラス関数は連続関数であるが至る所で微分不可能な病的な関数の例である。

一様連続の定義

言葉で説明すると、任意の正の数εに対して適当なδを決めると、関数 f(x)の区間Iに属するどんなxを2つ取っても（x₁とx₂とする）|x₁-x₂|＜δ　ならば　|f(x₁)-f(x₂)|＜εが必ず成り立つ時、関数fはIにおいて一様連続である。という。

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x₁,x₂∈I, 0＜|x₁-x₂|＜δ ⇒ |f(x₁)-f(x₂)|＜ε　

また、f(x)が閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)はその閉区間[a,b]で一様連続である。
（開区間(a,b)では一様連続とは限らないので注意。）

「これってさっきまでのε-δ論法とどう違うねん」と言いたくなるだろう。
先程まではεをドンドン小さくすると理解しやすかったが、一様連続においてはεを固定してしまうと理解しやすい。

任意の正の数εを最初に与えておいてa点とb点で同じδが通用するか？と考える。
例えば1/xのグラフにおいて、区間は開区間(0,∞)としよう。まずε=1を最初に与えて、a点をx=2、b点をx=1とする。a点においては次の事が言える。

　　δ=1　とすると　|x-2|<1　⇒　|1/x-1/2|<1

これは明らかに成り立つ。ではδ=1のままb点では通じるだろうか？

　　|x-1|<1　⇒　|1/x-1|<1

こちらは　0≦x≦1/2　において成り立たない。これはεを他の値にしてもxをドンドン小さくすれば同じ事が起きる。
つまり、1/xは任意の正の数εに対して適当なδを取り、それを固定してしまうと全てのxでε-δ論法が成り立つとは言えないので、1/xは(0,∞)において一様連続でない。という事が言える。

対して、f(x)=2xではεを最初に与えて　δ=ε/2　と与えればどの様なxにおいても成り立つ。
なのでf(x)=2xは無限区間(-∞,+∞)において一様連続であると言える。

どういう意味？

つまり一様連続とは、xの変化量に対するyの変化量を見ている。
0＜|x₁-x₂|＜δ とはxの変化量、 |f(x₁)-f(x₂)|＜ε　とはf(x)=yの変化量。

先程の1/xと2xの違いは、変化量がおとなしいか激しいかである。
2xはd(2x)/dxがconst antなので変化量を簡単に予測する事ができる。ところが、1/xはd(1/x)/dxが0の近くで急激に上下する。つまりεとδをxに合わせてその都度変更しなければならない。

同様にして、sinx・cosxも変化量が1から-1の間なのでおとなしい部類だが、x²はxが0より離れれば離れる程変化が著しい（εとδを最初に与えても、ドンドンxが増加していけばいつかδが対応しなくなってしまう）ので、一様連続ではないのだ。

例

sinx, cosx, 1/x[1,∞)　…　一様連続である。
tanx(-π/2,π/2), 1/x(0,1]　…　連続だが一様連続でない。

論法は「何故」必要だったのか

しかしコーシーはなんだってε-δ論法なんてものを考えたのだろうか。古典微分でもたくさん成果は上がっていたのに、わざわざこんな面倒な手続きを持ち込む理由はどこにあったのか。

その理由は、古典的な微分法がとても曖昧な考え方に基づいていたからである。

高校で微分を習った人間はその導入の話を思い出してみよう。そもそも微分の考え方とは「自由に変化する関数でも、ものすごく微小な変化だけを見れば直線とみなせる」というものであった。

関数がx方向に⊿xだけ変化した時、y方向が⊿yだけ変化しているとする。この時傾きの値は⊿y/⊿xだから、その瞬間の傾きの値を微係数とし、微係数の変化の様子を表す導関数が求められる、というのが微分法である。しかしこの変化量は無限に小さいものと考えるから、計算上は形式的に⊿x=0として求めることになる。

・・・お気づきだろうか。微係数は⊿y/⊿xだとしているのに⊿x=0、つまり初期の微分法はゼロによる除算がいつの間にか計算に入り込む黒魔術だったのである。

普通の関数では分子と分母がきちんと消し合うためにおかしな値は出てこないが、どういう条件でそれが正しい値を導くのか説明するのは難しい。歴史に名を残す大数学者でも時々誤った計算結果を出しており、微分を使いこなすには職人芸的な勘が必要だったのだ。

この問題を発想の逆転で解決したのがコーシーだった。ε-δ論法の肝は「関数のある瞬間の変化を直線(線形)で近似した時、元の関数との誤差を無限に小さくできる値が確定するならそれを微係数としよう」と考えることである。要求しているのはあくまでもいくらでも精度の上がる誤差項の明示であるから、ゼロの代入というクリティカルな問題は回避できる(そもそも「代入」をしていない)。しかも値が一つに定まる条件がつくことで、値の定義から曖昧さがなくなった。ε-δ論法の誕生によってようやく微分は本物の数学になったというわけである。

今回、出来る限りε-δ論法を多くの人に理解してもらう為にかなり砕けた説明を筆者はしたつもりだ。
他にも一様収束、コーシーの収束条件等も説明出来るのだが、ここで一旦区切りを入れるとする。　_{誰か続き書いて！}

解析学に関して、ε-δ論法は真に驚くべき効果を発揮するが、私の体力と知識はそれを書くには無さすぎる。