ベルトランの逆説とは (ベルトランノパラドックスとは) [単語記事]

ベルトランの逆説とは、『任意』の解釈により答えが変わってしまうパラドックスである。

問題

半径rの円に任意の弦を引いたとき、その弦の長さが円に内接する正三角形の1辺の長さ(√3r)よりも長くなる確率を求めよ。

Answer.1

円の直径に直交する直線を任意に取ったとき、
その直線が成す弦の長さが正三角形の1辺の長さ√3rよりも長くなるのは、円の直径の一端からの長さx(0＜x＜2r)がr/2＜x＜3r/2のxに直交する直線を引いた弦のとき。

よって、(3r/2-r/2) / (2r-0) = (r) / (2r) = 1/2。

Answer.2

円周上の点Aから弦の一端となる点Bを任意に取ったとき、
弦の長さが正三角形の1辺の長さ√3rよりも長くなるのは、点Aを通る円の接線と線分ABとの成す角度θ(0゜＜θ＜180 ゜)が60゜＜θ＜120 ゜のとき。

よって、(120-60) / (180-0) = 60/180 = 1/3。

Answer.3

正三角形の外接円の円周上に任意の点A、Bを取ったとき、
その点AとBを結ぶ線分ABが正三角形の1辺の長さ√3rよりも長くなるのは、線分ABの中点Mが正三角形の内接円(半径r/2)の上にあるとき。

よって、(内接円の面積) / (外接円の面積) = (πr²/4) / (πr²) = 1/4。

他にも答えの変わる方法はあるので、他の方法が知りたければググるべし。
有名な解答はこの3つであるし、パラドックスについてはこの3つで概要はつかめるだろう。

何故？

任意に引くとはつまり弧が一様に分布するように引く、という事である。いずれも尤もらしい弧の引き方ではあるが、実は上記3パターンは弧及びその中点の確率分布が異なる。確率分布が異なるから求めたい確率が異なるという事になるわけだが、どのパターンも、ある観点からは一様に分布していると言えるが他の観点からは偏りがある、という状態になっている。さらに、どの観点からも一様になるよう分布させることはできない。そのため、解答を統一したいのであれば問題文で弦の引き方についてより詳細に言及する必要がある。

なら本当の答えは？

それぞれの解答は「任意」の解釈の仕方によって変わるものであるため、問題の答えとしてはどれも正解である。ただし、逆説の核心は確率分布が設定次第で容易に変わることにあるので、分布の性質を詳しく解析して解答を比較することは可能である。wikipediaによるとAnswer.2が追加の条件が一番少なく済むからいいらしい。