メルセンヌ数

メルセンヌ数とは、2ⁿ-1(n:自然数)と表記できる自然数である。

概要

2ⁿ-1(n:自然数)と表記できる自然数、つまりは2の累乗から1を引いた数である。

…とだけ言うとなにやら難しそうに見えるが、2進数で表現すると111…1というようにn桁の1がずらりと並ぶ為、結果的にコンピュータが表現することのできるn桁の整数の上限となっている。例えば127(n=7), 255(n=8), 65535(n=16)など。

そういう意味では、メルセンヌ数という名前を知らずとも身近に感じる人も少なくないのではないだろうか。ゲームでしばしばカンストしたりオーバーフロー直前の最高値だったりする、アレである。ニコニコ大百科においても、2147483647（n=31, ニコニコ動画での再生数、コメント数、マイリスト数の上限）、4294967295（n=32, ニコニコ大百科掲示板で書き込めるレスの最大数）の記事があったりする。

その中でも、素数であるものを「メルセンヌ素数」と呼ぶ。メルセンヌ数にはリュカ・テストなどの素数判定法が知られていて、他の数よりも判定の手間がかからない。それゆえメルセンヌ数は巨大素数の発見に貢献している。実際、2024年10月現在知られている最大の素数もメルセンヌ素数（2^136279841-1, 2024年10月21日発表, GIMPS）である。

メルセンヌ数の一覧（n≦50）

太字がメルセンヌ素数、それ以外は（1を除いて）合成数である。

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023,

2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151,

4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823,

2147483647, 4294967295, 8589934591, 17179869183, 34359738367, 68719476735, 137438953471, 274877906943, 549755813887, 1099511627775,

2199023255551, 4398046511103, 8796093022207, 17592186044415, 35184372088831, 70368744177663, 140737488355327, 281474976710655, 562949953421311, 1125899906842623, ...

（なお、この次の素数は n=61 のときの 2305843009213693951 である。）

関連項目

• マラン・メルセンヌ
• メルセンヌ素数 / メルセンヌ・ツイスタ
• 素数
• フェルマー数（2^2^n+1で表される数）
• レピュニット（十進法で111...1と書ける数）
• 2147483647
• カンスト