モノイドとは (モノイドとは) [単語記事]

モノイドとは、圏論に出てくる耳慣れない概念であるが、実例としては足し算や掛け算がなど結構身近なものがある。

以下の説明は、群論における一般的な説明である。

概要

モノイドは集合Sと、Sの要素に対する2項演算子「·」、Sに属する単位元e、の組み合わせのうち、以下の規則を満たすものを指す。

結合律: 任意のa, b, c ∈S について、(a · b) · c = a · (b · c) が成り立つ。

単位元律: 任意のa ∈S について、 a · e = e · a = a が成り立つ。
e · a = a を左単位元律、a · e = a を右単位元律という。

モノイドの例

数の掛け算

モノイドという名前を聞いたことがない人は多いと思うが、モノイドとなっているものの例として誰でも知っているものが、掛け算である。

Sを実数(整数や複素数、自然数でもよい)の集合、「·」を掛け算、e = 1 とすれば、

結合律: 任意のa, b, c ∈S について、(a · b) · c = a · (b · c) が成り立つ。
単位元律: 任意のa ∈S について、 a · 1 = 1 · a = a が成り立つ。

というように、モノイドの条件を満たしていることがわかる。

一つだけ注意する点があるとすれば、掛け算の例はたまたま交換法則(任意のa, b ∈S について、a · b = b · a)を満たしているが、モノイドは交換法則を(満たすこともあるが)満たすことが保証されていないことである。

自由モノイド（文字列の連結）

文字a,b,c,…からなる集合をアルファベットということにする。アルファベットをAと書くと、A={a, b, c, …, x, y, z}である。Aの要素からなる有限な文字列をA上の語（word）という。例えば、"a"、 "xyz"、 "hello"、 "category"、 "qawsedrftg yhujikolp"　などである。ここで、空の文字列を　"-"　で表す。Aの「クリーネ閉包」A^*を、A^*={A上の語}で定義する。語w,w'∈A^*に対し、二項演算w・w'を語の連結 ww'で定義する。例えば”ab” ・ "cd" = "abcd"、"ab"・"-"="ab"、"-"・"ab"="ab"である。こうすることで演算・は

結合律：任意の語w₁,w₂,w₃について、(w₁・w₂)・w₃= w₁・(w₂・w₃)
単位元律：任意のwについて、"-"・w = w・"-" = w

となり、モノイドの構造を持つことがわかる。これをA上の自由モノイドという。これは交換法則を満たさない例である。

モノイドのどこが良いのか

結合律により、a · b · c は前後どちらから計算してもよいことになるため括弧なしで書くことができる。

もうひとつは、並列計算である。重畳関数の計算をするときに単位元eを初期値とし、Sの要素からなるリストと、「·」を重畳関数の引数にする関数と考えれば、通常の重畳関数は端から順に計算することしかできないところ、モノイドを引数にした重畳関数は分割して計算して並列計算した結果を最後に「·」でつなぎあわせて計算しても正しい答えが出ることが保証されているのである。

圏論におけるモノイド

圏論におけるモノイドを一部説明する。圏論の言葉でモノイドを説明する事もできるし、モノイドの性質を一般化したモノイド構造などを考えることができる。あるいは逆に、圏論は単位元を持つ射の集まりという性質から、モノイドをものすごく一般化したものと見なすこともできる。

圏の例から見るモノイド

圏の定義はこちらかこちらの記事を参照。

ひとつの対象Mと恒等射id_Mのみからなる圏。可換図式で表すと以下のとおり。

M
↺id_M

可換図式において通常は恒等射は省略される。

これらを複数あつめたものは以下のとおり。

I　J　K　L　M

このように恒等射のみからなる圏は離散圏と呼ばれる。

２つの対象I,TとIからTへのひとつの射からなる圏。

I→T

集合S={s,t,u,…}が与えられたとき、2つの対象I,Tとそれらの恒等射、およびIからTへの射の集合C(I,T)=Sとする圏。

	s ↷
I	→ t	T
	⤻ u

Mがモノイドのとき、ひとつの対象Eを持ち、射集合がM(E,E)=Mで与えられる圏が得られる。上の図でI=T=Mの場合。最初の例と異なり、恒等射以外に自己射を持つと考える。

	m ↷
M	→ id_M	M
	⤻ n

射m,nの合成はモノイドMの積をもってm∘n=mnで与えられ、恒等射はMの単位元で与えられる。

逆に、Cを圏とし、任意のX∈Ob(C)に対してC(X,X)は射の合成に関しId_Xを単位元とするモノイドになる。つまり、ひとつの対象のみを持つ圏Mを与えることは、モノイドMを与えることに他ならない。

以上を踏まえると、圏はモノイドの多対象版であると考えることができる。

準備

以下はモノイダル圏の説明。

圏の積

Cを圏とし、C₁、C₂をCの対象とする。Cの対象C₀と2つの射p：C₀→C₁､q：C₀→C₂からなる三つ組（C₀,p,q）つまり

←C0→
p　　q

が以下の性質を満たすとする。

Cの対象X、2つの射f1：X→C1、f2：X→C2からなる任意の3つ組(X,f₁,f₂)に対し、ある射f：X→C₀がただひとつ存在し、p∘f=f₁、q∘f=f₂を満たす。可換図式は以下のとおり。

↙	←X→	↘
↓f₁	f↓	f₂↓
C₁	←C₀→ p　　q	C₂

この図式の性質を普遍性という。このとき、C₀をC₁,C₂の積（またはカルテシアン積）と呼び、C₀=C₁×C₂と書く。多くの場合、直積と呼ばれる積に相当するものである。

つまりC₁とC₂が与えられたとき、どのようなXからの射の対(f₁,f₂)でもあるfを経由して対(p,q)を通るように一意に分解される「普遍的」な分解である。

また、終対象IはI×X→X←X×Iを考えれば、この積のもとで恒等元として働くことがわかる。例えば集合の場合、終対象は一点集合I={*}であり、λ(*,x)=x、η(x,*)=x、x∈Xで与えられる全単射I×X→_λX←_ηX×Iにおいて、恒等元として作用していることがわかる。

テンソル積

M,N,LをR-加群とする。環R上の加群のテンソル積⊗_Rは以下の定義を持つ積である。ただし、ModRはR-加群の圏、M×N∋(m,n)はMとNの集合としての直積。

R-双線形写像と呼ばれる写像 φ：M×N→M⊗_RNが存在する。
φは普遍的。つまり、任意のR-加群Uと任意のR-双線形写像F：M×N→Uに対し、R-準同型写像f：M⊗_RN→Uが一意に存在してF=f∘φとなる。

M×N	φ →	M⊗_RN
↓　F	↙f
U

M⊗_RNの元をφ(m,n)=m⊗nと書く。テンソル積は存在すれば一意である。

この時、⊗_Rは以下の性質を持つ。

R-加群M、Nに対しM⊗_RNは再びR-加群となる。
f：M→M'、g：N→N'がR加群の準同型のとき、f⊗_Rg：M⊗_RN→M'⊗_RN'も加群の準同型である。
任意のR加群Mに対し、自然な同型R⊗_RM≅M⊗_RR≅Mが存在する。
任意のR加群L,M,Nに対し、自然な同型(L⊗_RM)⊗_RN≅L⊗_R(M⊗_RN)が存在する。

性質1,2より、⊗_Rは直積圏からの関手-⊗_R-：ModR×ModR→ModRを定める。

これは、どのような「積の構造を持つ写像」F：M×N→Uもテンソル積⊗_Rを元に生成する事ができるということを示唆している。

この性質を抽象し、圏の上のモノイダル構造が定式化される。

モノイダル圏

関手・自然変換の定義は該当記事を参照。

圏の積C×C'からDへの関手H：C×C'→Dを双関手という。

圏C上に双関手-⊗-：C×C→C、自然変換a=a_X,Y,Z：(X⊗Y)⊗Z　→　X⊗(Y⊗Z)、対象I∈Ob(C)、同型 ι：I⊗I→I、関手R₁,L₁が与えられ、次の2条件を満たす時、⊗（あるいは(⊗,a,I,ι,R₁,L₁)）を圏のモノイダル構造という。

１．五角形公理　すべてのX,Y,Z,Wに対して次の図式が可換。

(X⊗(Y⊗Z))⊗W	← a⊗id_W	((X⊗Y)⊗Z)⊗W	→ a	(X⊗Y)⊗(Z⊗W)
↓a				↓a
X⊗((Y⊗Z)⊗W)	→	→ 　　id_X⊗a	→	X⊗(Y⊗(Z⊗W))

２．単位元の公理　L₁(X)=I⊗X、R₁(X)=X⊗Iと定義される関手L₁：C→C、R₁：C→Cは圏同値である。

(X⊗I)⊗Y	→ 　a	X⊗(I⊗Y)
↓R₁⊗id_Y		id_X⊗L₁↓
↘→	X⊗Y	←↙

圏Cとその上のモノイダル構造の3つ組(C,⊗,I)をモノイダル圏と呼ぶ。あるいはしばしばCをモノイダル圏と省略して呼ぶ。⊗をCのテンソル積、Iをテンソル積のユニット（単位対象）と呼ぶ。つまりモノイダル圏とは、カルテシアン積以外の何らかの「積」の構造を持つ圏である。

例：集合の圏Setには直積が存在する。X,Y∈Setに対し、X⊗Y:=X×Yとおき、Iとして1元からなる集合{*}を採用し、a_X,Y,Z((x,y),z):=(x,(y,z))（ただしx∈X、y∈Y、z∈Z）とすれば圏Set上のモノイダル構造(Set,×,{*})が決まる。

例：Rを可換環、⊗_RをR加群のテンソル積とするとき、(ModR,⊗_R,R)はモノイダル圏となる。

モノイド対象

モノイダル圏Cにおいて、対象Xと射m：X⊗X→X、e：I→Xの3つ組(X,m,e)について、以下の2つの図式が可換であるとき、XをCにおけるモノイド対象、または単にモノイドという。

(X⊗X)⊗X	m⊗id_X →	X⊗X
a_X,X,X≃　↓		↓
X⊗(X⊗X)		↓m
id_X⊗m　↓		↓
X⊗X	→ m	X

I⊗X	e⊗id_X →	X⊗X	id_X⊗e ←	X⊗I
↓		↓m		↓
→ p₂	→	X	←	← p₁

これらの図式が可換であるとはつまり次の合成が等しいということを示している。

m∘(id_X⊗m)=m∘(m⊗id_X)、m∘(e⊗id_X)=p₂、m∘(id_X⊗e)=p₁

これらは要素を使って表すこともできる。

集合Mの例で言うと、M上の関数mをm(x,y)=xyのように書き、一点集合I={*}上の関数eをその唯一の値である要素e(*)=u∈Mで置き換えると図式は以下のようになる。

〈〈x,y〉,z〉≅〈x,〈y,z〉〉	→	〈x,yz〉
↓		↓
〈xy,z〉	→	〈xyz〉

〈*,x〉	→	〈u,x〉	〈x,u〉	←	〈x,*〉
↓		↓	↓		↓
→	→	〈ux〉=〈x〉	〈xu〉=〈x〉	←	←

これらはまさに、乗法が結合的で左および右恒等元として要素uを持つというモノイドの定義そのものである。これは逆に言えば、代表的な恒等元を可換図式でどのようにすれば表すことができるかという例を示している。

M×Mのカルテシアン積×が結合的であって、全単射I×M→M←M×Iで規定される恒等元Iを持てば、⊗は2つの対象上のどんな演算に置き換えてもよい。Cが圏であり、ある演算◆がこのような演算であり、Iをその単位元とすると、体系(C,◆,I)におけるモノイドというものについて議論することができる。

例

集合の圏Setにおけるモノイド対象は群論におけるモノイド（記事最上部で定義されたもの）と一致する。集合Mに対し、写像m：M×M→Mおよびe：{*}→Mを与えることはM上の積と元e(*)=1∈Mを与えることに他ならない。体系の三つ組は(Set,×,{*})。

アーベル群の圏Abを（アーベル群の）テンソル積⊗によりモノイダル圏と考えた時、圏Abにおけるモノイド対象は「単位元を持つ環」になる。アーベル群Aに対し、準同型A⊗A→Aを与えることはZ-双線形写像A×A→Aを与えること、つまり通常の環の積を与えることと同値。テンソル積のユニットはZ(整数)であり、u：Z→Aを与えることはZの生成元1から単位元u(1)∈Aを与えることになる。体系の三つ組は(Ab,⊗,Z)。

Rを可換環とするとき、ModRにおけるモノイドはR-代数に一致する。R-加群TとR-加群準同型u：R→Tとφ:T⊗_RT→Tで図式を可換にするものが与えられたとき、積stをφ(s⊗t)と定義すればTは環になる。加群の定義に加え、(as)t=a(st)（a∈R、s,t∈T）となることがR-代数の定義であるので、TがR-代数となることが確認できる。体系の3つ組は(ModR,⊗_R,R)。