体(数学)とは (タイとは) [単語記事]

体(数学)とは、以下に述べる数学的構造を持つ集合である。群と環の記事も合わせて読むことを勧める。

体は特別な環であり、簡単にいえば+,-,×,÷を使った四則演算がゼロ除算を除き問題なく行える集合である。体そのものの定義はシンプルであるが、その背後には、代数方程式の解となる実数の分析や作図の可能性、ガロア群の存在といった豊かな理論が存在する。

以下、整数の集合をZ,有理数の集合をQ、実数の集合をR、複素数の集合をCとする。

概要

体とは、加法+と乗法×の2種類の二項演算を持つ集合であり、それぞれの間に以下の関係を持つ。

加法+に関して可換群である。

零元を除いた集合が乗法に関して群になる。

分配法則　a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c＝a×c+b×c

通常は加法の単位元を0、乗法の単位元を1と書く。積の単位元を体の単位元とし、加法の単位元を零元と呼ぶ。また、積の記号×を省略することが多い。

この条件からは分かりにくいが、0（零元）以外の全ての元が必ず積に関する逆元をもつ。

通常の体は0≠1であるが、0=1とした場合は必ず1元からなる集合{0}となる。これを自明な体というが、0の逆元の存在を認めることになるので普通は体から除外する。

環とは異なり、普通は体と書けば可換な体を指し、非可換な体は斜体と呼ぶ。以下、特に断りがない場合は可換な体について記述する。

体の例

Q,R,Cは体である。また、QはRの、RはCの部分体である。また、Qはそれ以上小さな体を部分集合として持たない。有理数は最も基本的な体である。
Zは{1,-1}以外に逆元を持たないため体ではない。
p進体。pを素数とし、非負整数をpのベキの和で表したものをp進数という。このp進数にp進付値と呼ばれる距離（のようなもの）を導入し完備化したものがp進体である。
整数を7で割ったあまりで分類した集合Z/7Zは体になる。集合の要素は{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}であり、[2]の逆元は[4], [3]の逆元は[5], [6]の逆元は[6]自身である。
一般に、整数を素数pで割ったあまりで分類した集合Z/pZは体になる。これは元の数が有限である体なので有限体という。
体Kを係数とする多項式環K[X]を考える。既約多項式f(X)∈K[X]による商環K[X]/(f(X))={多項式g(X)をf(X)で割ったあまり}は体になる。f(X)が既約でない場合は体にならない。
有理数体Qに√2を加えた集合Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}は体となる。これはQの拡大体とよぶ。
ユークリッド平面状で定規、コンパスのみで作図可能な点の集合は体の構造を成す。定規とコンパスで作図不可能な点は2次の体の拡大を有限回繰り返すことで得ることができない元に対応する。→角の三等分問題

体の論理的構造

有限体

元が有限個である体を有限体、要素の個数を体の位数という。元の数が有限なので、ある元aに単位元1を足し続けていくとa+n=aになる数nが現れるが、これを標数という。そのようなnが無い時、標数は0とする。

例：整数Zを素数で分類した集合Z/pZは有限体。標数はp。

例：Q,R,Cは有限体ではない。標数0。

同様に、a≠0に積をn回繰り返して得られる数aⁿ=a×a×a×…×aについて、元が有限個なのであるn=kでa^k=1となる。これを元aの位数という。aの位数は体の位数p-1を超えない。位数がp-1になる元を原始根といい、有限体に必ず存在する。0以外の元は原始根の冪で生成されるので、Z/nZは積に関して巡回群になる。

例：Z/7Zの[1],[2],[3],[4],[5],[6]の位数はそれぞれ1,3,6,3,6,2。原始根は3,5。
{[5¹],[5²],[5³],[5⁴],[5⁵],[5⁶]}={[5],[4],[6],[2],[3],[1]}。

Z_p[x]をZ/pZ上の多項式環とする。例えばZ₃[x]は係数が0または1または2の多項式である。pを素数とすると、標数pの有限体Kはある整数係数の既約多項式f(x)∈Z_p[x]によって次のように表される。

K≅Z_p[x]/(f(x))

f(x)の次数がmならばKの位数はp^mになる。また、同じ位数の有限体は全て互いに同型である。つまり、有限体はかならずこの形に表すことができる。

例：Z/7ZはZ₇[x]/(x+a)と同型。a∈Z/7Z。

例：f(x)=x³+x+1∈Z₂[x]とする。多項式a(x)をf(x)で割ったあまりを[a(x)]と書くことにする。Z₂[x]/(x³+x+1)={[0], [1], [x], [x+1], [x²], [x²+1], [x²+x], [x²+x+1]}
これは[1]+[1]=[0]なので標数2、位数8の有限体である。
また、[1][1]=[1], [x²+1][x]=[1], [x²+x][x+1]=[1], [x²][x²+x+1]=[1]。
0,1以外の全ての元が原始根。

整域から商体を構成する方法

以下の手順より、整数Zから有理数体Qを構成することができる。

有理数は2つの整数の組(a,b)（ただしb≠0）を考え、「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入して、(a,b)の同値類をa/bと表記し類別したものである。
たとえば(1,2)~(2,4)~(3,6)~(4,8)…、1/2={(1,2), (2,4), (3,6), (4,8),…}。
和は(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)、積は(a,b)×(c,d)=(ac,bd)で定義される。単位元は1/1、零元は0/1。簡単な計算からこれが体になることが確認できる。ただしa/1はaと表記しなおす。

同様の手順を踏むことで、一般の整域Aから商体Q(A)=A×A/(~)を構成することができる。

整域Aに対してa,b≠0∈Aの組(a,b)∈A×Aを考える。「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入することで、(a,b)の同値類をa/bと表記できる。和と積の構成も同様。簡単な計算から剰余環A×A/(~)＝Q(A)が体になることが確認できる。Q(A)の部分環A^*={x/1｜x∈A}はA={x｜x∈A}と環同型なので、x/1をxと同一視し、x/1を改めてxと表記しなおす。こうすることでA⊂Q(A)となる。

整域と限定した理由は、一般の環ではb≠0,d≠0であってもbd=0となりゼロ除算になる可能性があるためである。
同値類による類別というと難しく感じるが、要するに約分して同じ形になるものは同じ元とみなす、一番約分できているものを標準とする、ということである。

体Kが整域Aを含んでいれば、Kは商体Q(A)を部分体として含む。

例：体K上の多項式環K[x]から構成された商体K(x)={f(x)/g(x)｜f(x),g(x)∈K[x]、g(x)≠0}。f(x)/g(x)の形であらわされるものを有理式といい、商体K(x)を有理関数体という。多項式環の元f(x)がxと係数の和、差と積で生成できるので、有理式はxと係数の加減乗除で生成できる。

体の拡大

体Kが体kを部分集合に持ち、Kの演算についてkが閉じているとき、kをKの部分体と呼び、逆にKをkの拡大体と呼ぶ。このとき、体の拡大K/kという事がある。

Kをkの拡大体とする。a∈Kに対し、体ｋと元aを含む最小の体をk(a)と書く。aが部分体kに含まれていない場合、k(a)の元はaと係数の加減乗除で生成できる。したがって、k(a)の元は有理式 f(x)/g(x)にaを代入した形であらわすことができる。

つまり、k(a)={f(a)/g(a)｜f(x), g(x)∈k[x], g(x)≠0, a∈K}。これを単項拡大、または単純拡大といい、単項拡大の生成元aを原始元という。体k(a)は環k[a]の商体に同型。

例：C={a+bi｜a,b∈R}なのでCはRの拡大体。(a+bi)/(c+di)の形の元はa'+b'iと書きなおすことができる。

例：Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}とするとこれはQの拡大体となる。(a+b√2)/(c+d√2)の形の元は有理化をすることでa'+b'√2の形に直すことができる。

体Kはk上のベクトル空間と考えることができる。Kのk-ベクトル空間としての次元を拡大次数といい、[K:k]であらわす。[K:k]が有限の時、有限拡大という。

例：{1,i}を基底ベクトルと見ることができるので、[C:R]=2。

例：{1,√2}を基底ベクトルと見ることができるので、[Q(√2):Q]=2

変数が複数の時も同様に定義され、k(a₁,a₂, …, a_n)={f(a₁,a₂, …, a_n)/g(a₁,a₂, …, a_n)｜f,g⊂k[x₁,x₂, …, x_n]、g≠0}となる。a₁,a₂,…,a_nが有限個のとき、有限拡大という。

自分自身以外に部分体を含まないような体を素体という。Qは標数0の素体、Z/pZは標数pの素体であり、これ以外に素体は同型を除いて存在しない。

超越的、代数的

体kの拡大がk上の多項式環k[x]によりどのように分類されるかを確認する。

準同型写像 φ：k[X]→K、φ(f(x))=f(a)とする。つまりφは体k上の多項式f(x)にaを代入する写像。環準同型定理により、Im(φ)=k[a]≅k[x]/Ker(φ)である。

Ker(φ)はf(a)=0となる多項式の集合であるが、これが(0)（ゼロイデアル）か(0)でないかでaが分類される。

f(a)=0、f(x)∈k[x]となる多項式が存在しない時、aをk上超越的という。
aがk上超越的であるとき、k(a)は有理関数体k(x)と同型で[k(a):k]=∞
f(a)=0、f(x)∈k[x]となる多項式が存在する時、aをk上代数的という。
aがk上代数的であるとき、Ker(φ)=(f(x))となる多項式f(x)が定数倍を除いて一通りに決まる。これを最小多項式といい、Irr_k(a)と書く。
Kの任意の元がk上代数的であるとき、Kはkの代数拡大であるという。このとき、[k(a):k]=deg(f(x))

例：ネイピア数e、円周率 πはQ上超越的である。Q上超越的な複素数を超越数と呼ぶ。つまり、超越数は有理数係数方程式 f(x)=0の解にはならない数である。特定の数が超越数かどうかを判別する一般的な方法は見つかっていない。

例：√2、³√5、1のn乗根、³√2ωなどはQ上代数的である。Q上代数的な複素数を代数的数という。

例：k=Q、a=√2の時、Irr_k(a)=x²-2。f(x)=x²-2が最小多項式でないとき、g(x)=ax+b、f(x)=g(x)h(x)となる多項式が存在する。しかし、g(√2)=a√2+b=0となるがこれを満たすa,bは0,0以外に存在しない。つまり、f(x)の約元となるようなg(x)は存在しない。

例：[C:R]=2より、CはRの代数的拡大R(α)である。任意に複素数 α=a+biを取れば(a+bi)+(a-bi)=2a,(a+bi)(a-bi)=a²+b²は実数となり、x²-2ax+a²+b²=0の根になる。また、C=R(α)=R(i)。

k[a]≅k[x]/Ker(φ)でありk[x]は単項イデアル整域なので、K/kが代数拡大のときKer(φ)=(f(x))≠(0)かつ(f(x))は極大イデアル。したがって、最小多項式はk上既約。また、体の拡大K/kが代数的拡大であるとき、次の条件は同値。

aはk上代数的。
環k[a]は体。つまり、環k[a]=体k(a)。

f(x)∈Irr_k(a)、deg(f(x))=n、h(x)∈k[x]とすると,k[x]はユークリッド整域なのでh(x)=q(x)f(x)+r(x) =q(x)f(x)+Σ_k=0^n-1b_kx^k、deg(r(x))<nと置ける。従って、k[a]の元h(a)はa^kの線形結合であらわされる。以上より、aがk上代数的であるとき、[k(a):k]=deg(Irr_k(a))=nで、{1,a,a²,…,a^n-1}が基底となる。また、k⊂K⊂Lが代数拡大の時、[L:k]=[L:K][K:k]。これを連鎖律という。ここから、代数拡大の代数拡大は代数拡大であるということがわかる。また、有限拡大であれば代数拡大。

例：Q(³√2)は{a+b³√2+c(³√2)²｜a,b,c∈Q}で与えられる。

例：k=Qとする。a=√2+√3のとき、移項して二乗　(a-√2)²=a²-2a√2+2=3、移項して二乗　8a²=(a²-1)²、a⁴-10a²+1=0が得られる。したがってx⁴-10x²+1がQ[x]で既約ならIrr_Q(a)=x⁴-10x²+1が言える。一方、a²-2a√2+2=3なので、√2=(a²-1)/2a∈Q(a)、√3=a-(a²-1)/2a∈Q(a)。したがって、Q⊂Q(√2)⊂Q(√2+√3)
連鎖率を使うと、[Q(a):Q]=[Q(√2,√3):Q(√2)]×[Q(√2):Q]=2×2=4。
x⁴-10x²+1が可約であるとするとdeg(x⁴-10x²+1)<4となるが矛盾なので可約ではない。したがって既約であり、Irr_Q(a)=x⁴-10x²+1。
以上より、Q(a)=Q(√2,√3)、Q(a)はQの4次の代数拡大である。

例：ω=-1/2+√3i/2とする。Q(ω)=Q(√3i)なので、Q(ω)の元はQ(³√2)の元ではない。[Q(³√2,ω):Q]＝[Q(³√2,ω):Q(ω)][Q(ω):Q]=3×2となるので、Q(³√2,ω)はQの6次の代数拡大。
ω²=-1-ωに注意して、Q(³√2,ω)={a+ωb+³√2c+³√2ωd+³√4e+³√4ωf｜a,b,c,d,e,f∈Q}。
Q(³√2ω)={a+³√2ωb+³√4ω²c｜a,b,c∈Q}≠Q(³√2,ω)であることに注意。

k(a,b)が有限拡大であった時、定数c≠0を用いてk(a,b)=k(a+cb)と書く事ができる。cはIrr_k(a)とIrr_k(b)の根との関係に注意して選ぶ必要がある。ここから帰納的に、標数0の体において、任意の有限拡大は単純拡大である事が言える。

例：Q(√2,√3)について、cはIrr_Q(√2)=x²-2、Irr_Q(√3)=x²-3の根±√2、±√3から得られる(√2-√2)/(√3-(-√3))=0、(√2-(-√2))/(√3-(-√3))=√2/√3以外である必要がある。この場合、c=1であればよい。Q(√2,√3)=Q(√2+√3)。

例：Q(³√2,ω)について、Irr_Q(³√2)=x³-2、Irr_Q(ω)=x²+x+1、それぞれの根は³√2,³√2ω，³√2ω²、ω、ω²。cは0、(³√2-³√2ω)/(ω-ω²)=³√2ω²、(³√2-³√2ω²)/(ωーω²)=-³√2ω以外であればよく、c=1としてQ(³√2,ω)=Q(³√2+ω)。

代数閉体

次の同値な条件を持つ体Kを代数閉体、あるいは代数的閉体という。

定数関数ではない任意のf∈K[x]に対し、f(a)=0となるaが少なくとも一つ存在する。
任意のf(x)∈K(x)は一次式の積に分解される。
Kを真に含む代数拡大は存在しない。

例：Qは代数的閉体ではない。x²-2=0はQに解を持たない。

例：Rは代数的閉体ではない。x²+2=0はRに解を持たない。

例：Cは代数的閉体である。これは代数学の基本定理と呼ばれる。証明には以下の補題を用いる。
１．f(x)∈C[x]とする。f(a)≠0のとき、aの任意の近傍において|f(a)|は|f(x)|の最小値ではない。
２．定数ではない多項式f(x)において|x|→∞のとき、|f(x)|→∞。
任意のf(x)∈C[x]について、補題2より充分大きな円盤D={x｜|x|<r}を考えると|f(x)|>|f(0)|とすることができる。Dはコンパクトなので|f(x)|を最小にするa∈Dが存在する。補題1よりf(a)が最小となる時、f(a)=０でなければならない。任意のf(x)にf(x)=0となる解aが少なくとも一つ存在するので、Cは代数閉体である。

体の拡大Ω/kにおいてΩが代数的閉体であるとする。K={a∈Ω｜aはk上代数的}とすると、Kはkの代数的閉包であるという。

例：Q'={a∈C｜aはQ上代数的}と置くと、Q'は代数的数の集合で、Qの代数的閉包となる。

k-同型

kの拡大体K,K'の同型写像 σ：K→K'が存在し、σのkに関する部分が恒等写像となるとき、つまりa∈kならばσ(a)=aとなるとき、σをk-同型写像、K,K'をk-同型あるいはk上同型という。

例：複素共役σ：C→C、σ(a+bi)=a-biはR-同型写像。

kを体とし、f(x)∈k[x]を既約多項式とする。この時、次の条件を満たすkの拡大体Kがk-同型を除いて一意に存在する。

Kはkの単項拡大k(a)である。
原始元aはf(x)=0の解である。

また、K⊂kを体の拡大とし、2つの元a,b∈Kのk上の最小多項式が一致するとき、k-同型写像 σ：k(a)→k(b)が存在する。

K=k(a)とし、aはk上代数的とする。[K:k]=nとすると、Kの元xは、x=b₀+b₁a+…+b_n-1a^n-1と書ける。k-同型写像 σは和と積を保存しb₀,b₁,…,b_n∈kを動かさないのでσ(x)=b₀+b₁σ(a)+…+b_n-1σ(a)^n-1と書ける。従って、σはσ(a)によって決定される。

例：K＝Q(³√2)とする。³√2の最小多項式はx³-2なので根は³√2、³√2ω、³√2ω²の3つだが、³√2ω、³√2ω²はKの元ではないのでQ-同型写像 σは恒等写像1のみ。

例：K＝Q(³√2,ω)とする。³√2のQ上の最小多項式はx³-2なので根は³√2、³√2ω、³√2ω²の3つ。 σ(³√2)がx³-2の根になるので、σ(³√2)は3つの根のいずれかになる。まとめると、Q-同型写像 σは恒等写像 σ₀=1,σ₁(³√2,³√2ω,³√2ω²)=(³√2ω,3√2ω²,3√2)、σ₂(³√2,³√2ω,³√2ω²)=(³√2ω²,³√2,³√2ω)の3つ。

a,b∈K、bがIrr_k(a)の根であるとき、Irr_k(a)の分解体においてk(a)とk(b)はk-同型である。

例：Q(³√2)={a+b³√2+c³√4}、Q(³√2ω)={a+b³√2ω+c³√4ω²}、Q(³√2ω²)={a+b³√2ω²+c³√4ω}は上記の例の写像をQ-同型写像としてQ-同型。

分解体

ある多項式f(x)∈k[x]に対して、kの拡大体Kが次の性質を満たす時、Kをf(x)のk上の分解体という。体を小さく分解したもの、ではなく多項式を分解できる体、という意味。fを1次多項式に分解できる体で最小の体である。体k上の定数ではない多項式f(x)のk上の分解体は、k-同型を除いて一意に存在する。

K[x]において、f(x)=b(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n)と１次式の積に分解できる。
K=k(a₁,a₂,…,a_n)

Q上の多項式はC[x]においてf(x)=b(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n)と分解される。このとき、拡大体Q(a₁, a₂, …, a_n)はQ上の分解体。

例：x²+1=0の根は±iなのでx²+1の分解体はQ(i,-i)=Q(i)。

例：³√3による単項拡大Q(³√3)を考える。Irr_Q(3√3)=x³-3なのでQ(³√3)={a₀+a₁³√3+a₂³√3²}となる。しかし、x³-3=(x-³√3)(x-³√3ω)(x-³√3ω²)でありQ(³√3)の元では表すことができない。ω∈Q(√3i)なので、Q(³√3)を√3iで拡大した体が分解体となる。以上より、X³-3の分解体はQ(³√3)(√3i) = Q(³√3,√3i)=Q(³√3,ω)。
Q(³√3ω)は{³√3a｜a∈Q}の形の元を含まないのでx³-3の分解体ではない。

例：a=√3+√5の時、Qの最小多項式f(x)はx⁴-16x²+4=(x-√3-√5)(x-√3+√5)(x+√3-√5)(x+√3+√5)、g(x)=x⁴-8x²+15とするとg(x)=(x-√3)(x+√3)(x-√5)(x+√5)
Q(√3+√5)=Q(√3,√5)なのでf(x)とg(x)は同じ分解体を持つ。

体の代数拡大K/kにおいてKの任意の元aの最小多項式の全ての根がKの元である時、K/kを正規拡大という。

例：aが二次の最小多項式x²+px+qを持つとする。もうひとつの根bはa+b=p∈Qなのでb=-a-p∈Q(a)。従って、二次の代数拡大は正規拡大になる。

例：Q(³√2)は³√2ω、³√2ω²が根ではないので正規拡大ではない。

例：Q(³√2,ω)は正規拡大。

ガロア群

K/kを体の拡大とし、σ：K→Kを自己同型写像とする。σがk-同型写像、つまりkに制限した時に恒等写像となるとき、σをk-自己同型写像という。k-同型写像にk-同型写像を作用させたものは再びk-同型写像となるので、k-自己同型写像は写像の合成を積として群を成す。この群を体の拡大K/kのガロア群と呼び、Gal(K/k)とかく。ガロア群はK上の自己同型写像全体の成す群（自己同型群）の部分群である。

例：σ：C→CのR-自己同型写像として恒等写像1と複素共役写像 τがある。Gal(C/R)={1,τ}

例：Q(³√2)/Qについて、Irr_Q(³√2)=x³-2の根は³√2、³√2ω、³√2ω²だが、³√2のみがQ(³√2)の元なのでk-自己同型写像は恒等写像1のみ。Gal(Q(³√2)/Q)={1}。

例：Q(√2)/Qについて、Irr_Q(√2)=x²-2、根は±√2なので、σ(a+b√2)=a+bσ(√2)=a±b√2。σ₁(√2)=√2、σ₂(√2)=-√2とすると、σ₁は恒等写像1。Gal(Q(√2)/Q)={1,σ₂}。

例：Q(√2,√3)/Qについて、IrrQ(√2,√3)=(x²-2)(x²-3)、根は±√2、±√3。σ₁(√2)=-√2、σ₂(√3)=-√3とすると、Gal(Q(√2,√3)/Q)={1,σ₁,σ₂,σ₁σ₂}。

K/M/kを体の拡大とする。KのM-同型写像は自動的にKのk-同型写像となる。その時、Gal(K/M)はGal(K/k)の部分群になる。

例：Gal(Q(√2)/Q)はGal(Q(√2,√3)/Q)の部分群。

Kの自己同型群の部分群Gについて、K^G={a⊃K|σ(a)=a、全てのσ∈G}、つまりKの元aにσを作用させた時に変化しない部分集合K^Gは、Kの部分体になる。このK^Gを固定体と呼ぶ。
G⊂Gal(K/k)のとき、K⊃K^G⊃kであり、G⊂Gal(K/K^G)。また、K^Gal(K/k)⊃k。

体の拡大K/kが、K^Gal(K/k)=kとなるとき、つまり、ガロア群の固定体がkと一致する時、ガロア拡大という。ガロア群の元σは最小多項式の根aを再び同じ最小多項式の根σ(a)に移す。標数0の体においてはガロア拡大と正規拡大は一致する。

例：C/Rはガロア拡大。C^Gal(C/R)=R。

例：Q(³√2)/Qはガロア拡大ではない。Q(³√2)=KとするとK^Gal(K/Q)=K⊃Q。

例：Q(³√2,ω)/Qはガロア拡大。Q(³√2,ω)=K、σ₁(³√2)=³√2ω、σ₂(³√2)=³√2ω²とすると、Gal(K/Q)={1,σ₁,σ₂}、K^Gal(K/Q)=Q。

体(数学) 単語

概要

体の例