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加群単語

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加群とは、が作用する加法群である。

概要

非可換な環上の加群では左加群と右加群の区別が生じる。しかし、左加群について成り立つことは右加群についても成り立つことが多く、左右同時に扱う事は稀であるので、特に混乱の恐れがない場合は左加群のみ扱い、左加群を単純に加群と呼ぶ場合が多い。環R上の左加群は左R加群ともいう。

加群における直和やテンソル積を具体的に書き下そうとすると非常にややこしくなり理解しがたくなる。そこで、可換図式を用いて各演算の関係性を抽することで定理や関係の見通しを良くすると言う事がよくおこなわれる。

定義

環R上の左加群とは、環Rとアーベル群Mと写像λ:R×M→Mの組(R,M,λ)であって、次の4つの条件を満たすものである。

  1. λ(a,m+m')=λ(a,m)+λ(a,m') (加法群の分配法則
  2. λ(a+b,m)=λ(a,m)+λ(b,m)  (スカラーの和に関する分配法則
  3. λ(ab,m)=λ(a,λ(b,m))     (結合法則
  4. λ(1,m)=m          スカラーの単位元の存在)

このままでは見にくいので、通常みられる簡略記法に従うと以下のようになる。

  1. a(m+m')=am+am'
  2. (a+b)m=am+bm
  3. (ab)m=a(bm)
  4. 1m=m

この略記により、Rの元とMの元の積と見なすことができるので、スカラー積、スカラー倍などと呼ぶことができる。

Rが体である時、これはRベクトル間と呼ばれる。逆に言うと、ベクトル間のスカラーを体に限定せず環まで拡一般化したものが加群である。

加群の例

  • 1元集合{0}は環Rの元rに対してr・0=0とすればR-加群になる。これは加群と呼ばれ、0と書く。
  • 整数Z、有理数Q、実数R、複素数Cはそれ自身をスカラーとすることで右かつ左加群となる。
  • アーベル群の元bは生成元aのn倍の形(b=na)で表されるので、Zを係数環としてZ-加群になる。
  • 一般に、環は環の乗法をスカラーとしてそれ自身右かつ左加群になる。加群Rの左加群としての部分加群は、環Rの左イデアルである。これは環の構造を調べる上で特に重要である。
  • 複素数成分のベクトル間。スカラーは複素数及びその部分加法群。
  • 環Rを成分とする正方行列環Mn(R)とn次元ベクトル間Rnを考える。列ベクトルに対して行列を左から掛ける作用により、Rnは左Mn(R)加群となる。同様にn次行ベクトルRn行列を右から作用させると右Mn(R)加群となる。

論理的性質

以下、特に断りがない場合は左R加群について記述し、R加群などと略記する。

部分加群

加法群Mの部分集合Nが以下の性質を満たす時、NはMの部分R加群という。

  • 任意の2元 n1,n2∈Nについて、Mにおける和に関して n1+n2∈N
  • 任意の元 a∈R、n∈Nについて、MとRにおける積に関して an∈N

この2条件が満たされるとNはR加群となっていることが示される。

MがR加群、Nがその部分加群である時、Mに以下の同値関係~を導入できる。

  • m1~m2 ⇔ m1-m2∈N ⇔ m1+N=m2+N

この同値関係による商集合M=M/Nは以下の関係から再びR加群となる。これを剰余加群という。ただしm=m+Nである。これはイデアルの性質の一般化でもある。

  • m+n=m+n
  • am=am

例:IをRのイデアルとする。R-加群の部分集合IM={Σaiui|ai∈I、ui∈M}はMのR-部分加群である。

例:剰余加群M/IMはR/I-加群の構造を持つ。

R準同型写像

写像f:M→M'が次の2条件を満たす時、R準同写像という。

  • f(m1+m2)=f(m1)+f(m2)
  • f(am)=af(m)

fが全単写であるとき、fをR同写像といい、MとM'を同な加群と呼ぶ。このとき、M≅M'。

  • f(m)=0となるようなmの集合を核と呼ぶ。Ker(f)={m∈M|f(m)=0∈M'}
  • fによって移される集合を像と呼ぶ。Im(f)={f(m)∈M'|m∈M}

Ker(f)はMの、Im(f)はM'のR部分加群となる。

fが単写である必要十分条件はKer(f)={0}、全射である条件はIm(f)=M'である。また、準同定理M/Ker(f)≅Im(f)を満たす。

φ:M→NがR-同写像であるとき、逆写像ψφ-1が定義され、これもR-同写像になる。M≅Nとなる必要十分条件は、同写像φ:M→N、ψ:N→Mが存在してψφ=idM(Mの自己恒等写像)、φψ=idN(Nの自己恒等写像)となることである。

例:Rを可換環とする。R上の行列A∈M(n,m,R)は次のようにしてR-加群の準同写像φA:Rm→Rnを定義する。[a1,…,an]を縦ベクトル、(a1,…,an)を横ベクトルとする。

Rm∈[a1,…,am]→A[a1,…,am]=[b1,…,bn]∈Rn

逆に準同写像φ:Rm→RnφAの形に表される。

例:可換環R上のn次正方行列定めるR-準同写像φA:Rn→Rnが同写像になる必要十分条件は行列式det(A)がRの単元となることである。また、φA:Rm→Rnが同写像の時、m=n。det(A)が単元となるようなM(n,n,R)の部分集合をR上の一般線形群という。

有限生成、自由生成

体K上の加群はK上のベクトル間であるので、スカラーに対して逆元を掛ける作用を常に考えることができるが、ベクトル間を一般の環に拡した加群は、一般の環に関しては逆元が存在するとは限らないため逆元を掛ける操作が必ずしもできない。しかし、ベクトル間で成り立つ性質をいくつか加群に適用する事ができる。

  • MをR加群とする。Mに有限個の元z1,z2,…,znが存在して、Mの任意の元zがz1,z2,…,znの線形結合で表される。つまり、z=a1z1+a2z2+…+anzn 。この時、{z1,z2,…,zn}を有限生成系と呼び、有限生成系をもつ加群を有限生成加群と呼ぶ。
  • Mの元の系{z1,z2,…,zn}について、a1z1+a2z2+…+anzn=0ならば、a1=0、a2=0、…、an=0が成立するとき、{z1,z2,…,zn}をR上自由、またはR上一次独立という。
  • MがR上自由な有限生成系を持つ時、MはR自由加群であるという。また、{z1,z2,…,zn}を自由基底と呼ぶ。

Mが{z1,z2,…,zn}を自由基底に持つ自由加群ならば、Mの任意の元は自由基底を使ってただ一通りに表すことができる。自由基底の元の数nをMの次元、または階数と呼び、rank(M)と書く。

直和

R加群Mの部分加群の族(Mλ)λΛが与えられた時、次の性質を持つR加群∏λΛMλ(∏Mλと略記)およびR準同の族pλの組(∏Mλ,pλ)を直積という。

  • 任意のR加群Nと各λΛに対するR準同qλ:N→Mλの族に対し、あるR準同fが一意に存在して、f:N→∏Mλf∘pλ=qλとなる。可換図式は以下の通り。

Mλ
qλ

N
↑pλ ↓f
∏Mλ

pλ自然な射影と呼ばれる。

また、次の性質を持つR加群⊕λΛMλ(⊕Mλと略記)およびR準同の族iλの組(⊕Mλ,iλ)を直和という。

  • 任意のR加群Nと各λΛに対する準同jλ:Mλ→Nの族に対し、あるR準同fが一意に存在し、f:⊕Mλ→Nでf∘iλ=jλとなる。

Mλ
jλ

N
↓iλ ↑f
∏Mλ

jλは包含写像と呼ばれる。

直積と直和は双対の関係にあり一般には異なるものだが、加群においては、Λが有限集合である場合に上記の性質を持つR加群∏Mλと⊕Mλは一致し、ともにMλの直和と呼ばれる。具体的な構成は以下の通り。

有限個のR加群M1,M2,…,Mnが与えられたとき、次のようにして加法とスカラー積を定義すれば、直積集合M1×…×MnはR-加群の構造を持つ。

  • (u1,…,un)+(v1,…,vn)=(u1+v1,…,un+vn)
  • a(u1,…,un)=(au1,…,aun)

このR加群をM1,…,Mnの直和といい、M1⊕…⊕Mn=⊕Mnで表す。

MをR加群とし、M1,…,MnをR部分加群とするとき、M≅M1⊕…⊕Mnとなる必要十分条件はMの任意の元uが一意的にu=u1+…+unと表されることである。

例:Rn=R⊕…⊕R(n回の繰り返し)。これはR自身をR加群と見なした事に相当し、自由R加群という。

例:M≅R2は以下の可換図式を満たす。

R
p1
R⊕R
p2
R
↑q1 ↑f ↑q2
M

成分で書くと以下の通り。

q1(m)
p1
(q1(m),q2(m))
p2
q2(m)
↑q1    ↑f ↑q2
   m

例:R-加群MのR-部分加群N,Pについて、M=N+P={n+p|n∈N、p∈P}のとき、M≅N⊕Pとなる条件はN∩P={0}、つまり集合として直和になっていることである。R加群Mの部分加群NがMの直和成分であるとは、MにR部分加群Pが存在してM≅N⊕Pとなることを言う。

完全列

R-加群とR-準同写像の系列 …→ Mi-1 φi-1 MiφMi+1 → …がMiにおいて全であるとは、

となることである。

例:0→φM'→ψMが全系列であるということはψが単射であることと同値である。

例:M→φM''→ψ0が全系列であるということはφが全射ということと同値である。

0→M'→φM→ψM''→0 を短全系列という。これはφが単射、ψが全射、Imφ=Ker(ψ)であることを意味している。さらに、Im(φ)=Ker(ψ)がMの直和成分になっているときはこの短全系列は分解しているという。

例:IをRのイデアルとするとき、次はR-加群の短全系列である。 0→I→φR→ψR/I→0 φはRへの埋め込み、ψ自然な準同写像である。

捩れ部分加群

Rを整域とする。R加群Mが与えられた時、その捩れ部分加群T(M)を

T(M)={z∈M|あるR∋a≠0が存在して、az=0}

と定義する。つまり、因子でないRの元aを作用させることでazがMの元となるようなMの部分集合である。このときT(M)は、a1z1=0、a2z2=0とするとa1a2≠0かつa1a2(z1+z2)=0なので部分加群である。また、z∈T(M)ならば、任意のb∈Rに対してabz=0より、bz∈T(M)である。T(M)の元を捩れ元という。

MがR自由加群であれば、T(M)={0}である。

双線形写像

Rを可換間とし、M、N,PをR-加群とする。集合としての直積M×Nを考え、写像φ:M×N→Pが次の条件を満たしているとき、φはR-双線形写像という。

  • u∈Mを固定すると、写像N∋v→φ(u,v)∈P はR-準同写像である。
    つまり、φ(u,v1+v2)=φ(u,v1)+φ(u,v2)
  • v∈Nを固定すると、写像M∋u→φ(u,v)∈P はR-準同写像である。
    つまり、φ(u1+u2,v)=φ(u1,v)+φ(u2,v)
  • φ(au,v)=φ(u,av)=aφ(u,v)

テンソル積

Mを右R-加群、Nを左R-加群として、テンソル積⊗Rを定義する。

MとNの集合としての直積M×Nを考え、M×Nの元全体で生成される自由アーベル群F(M,N)を考える。ここで、自由アーベル群とは、全ての元が基底に属する元の有限回の和で表されるような可換群。F(M,N)の元はΣ(m,n)∈M,Namn(m,n)、amn∈Zの形をしている。

次のような形の元全体で構成された部分群H(M,N)を考える。

  • (m1+m2,n)-(m1,n)-(m2,n)  (m1,m2∈M、n∈N)
  • (m,n1+n2)-(m,n1)-(m,n2)   (m∈M、n1,n2∈N)
  • (mb,n)-(m,bn)         (m∈M、n∈N、b∈R)

剰余群F(M,N)/H(M,N)をM⊗RNと書き、(m,n)のH(M,N)による剰余類をm⊗nと書く。つまり、m⊗n=(m,n)+H(M,N)

これをM,Nのテンソル積といい、m⊗nをm,nのテンソルという。

M⊗RNが非可換環であるとき、M⊗RNは、Mが両側R-加群であれば左R-加群に、Nが両側R-加群であれば右R-加群に、M,Nともに両側R-加群であれば両側R-加群になる。M⊗RNが両側R-加群である時、次の式が成り立つ。

b(m⊗n)=bm⊗n=mb⊗n=m⊗bn=m⊗nb=(m⊗n)b

テンソルは+と次の関係を持つ。

  • (m1+m2)⊗n=m1⊗n+m2⊗n
  • m⊗(n1+n2)=m⊗n1+m⊗n2
  • mb⊗n=m⊗bn

M,NをR-加群、Tを任意のR-加群とする。

  • R-双線形写像π:M×N→Tとすると、R-加群の準同写像Ψ:M⊗RN→Tが一意に存在する。
  • φ(m,n)=m⊗nできまるR-双線形写像によりπ=Ψ∘φ可換図式でいうと以下の通り。
M×N
π
T
φ ψ
M⊗RN

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