可換図式

可換図式とは、圏論で説明もなく出てくるアレである。

概要

圏論においては射の合成の可換性を見やすくするため以下のようなグラフがよく用いられる。

X, Y, W, Zをある圏の対象、f: X→Y, g: Y→Z, h: X→W, k: W→Z を射とする（圏論の言葉に慣れない人は、X, Y, W, Z を集合、f, g, h, k を写像だと思ってもよい）。このとき、次の図

X	f →	Y
h↓	↺	↓g
W	→ k	Z

を可換図式（または単に図式）という。これは4つの射 f, g, h, k に関し、↺ を囲む領域の辺をなす射の合成 g∘f: X→Z と k∘h: X→Z が等しいこと（g∘f=k∘h、つまり可換）を表している。ここでたとえば、kはWからZに伸びているので、hとk∘g∘fを比較することはできない。

簡単に言うと、矢印の通り道が異なっていても、始点と終点が一致していれば合成射として一致している、ということをわかりやすくするための図である。圏論では対象とそこから伸びる矢印を中心に考えるため、式だけで表すより図を用いた方がわかりやすく間違いもないのである。

この図式は射の合成だけでなく関手の合成や自然変換の合成に対しても有効。

またこの例では4角形の可換図式を紹介したが、一般には多角形の可換図式や、それらが複数個組み合わさった可換図式なども登場する。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 圏論
• 有向グラフ