対偶

「裏」の「逆」でないならば、それは対偶ではない。

概要

「AならばBである」の対偶は、「BでないならAでない」である。重要なのは前者と後者が同値ということである。すなわち前者が真なら後者も真、前者が偽なら後者も偽である。

冒頭の例でいうと、「『裏』の『逆』でないならば、それは対偶ではない」と「対偶とは、『裏』の『逆』である」は同値である。

元の命題がいえるならば対偶も言えることの証明

1. まず、A→Bを仮定する
2. 次に、¬Bを仮定する
3. 次に、Aを仮定する
4. →の除去の規則により、A→BとAからはBが導ける
5. ¬の除去の規則により、Bと¬Bからは矛盾が導ける
6. ¬の導入の規則により、3の仮定を消去したうえで¬Aが導ける
7. →の導入の規則により、2の仮定を消去したうえで¬B→¬Aが導ける

以上をまとめると、「A→Bがいえるならば、¬B→¬Aもいえる」ということになる。

この証明自体では二重否定・排中律・背理法をまったく使っていない。だから、直観主義論理であっても対偶はいえる(ただし、二重否定は削除できないため、¬¬AがAにはならない点には注意)。

例

「パンツじゃないから恥ずかしくないもん！」の対偶は「恥ずかしいからパンツだもん！」となる。

無論前者と後者は同値だが、真偽の証明は各人にゆだねることとする。あるいは前件否定の記事を参照のこと。

必要条件と十分条件

→ 命題 参照

「AならばBである」とき、BであるにはAであれば十分であるから、AはBであるための十分条件であるという。また、Aであれば必ずBであるということは、BでなければAではありえない。つまり、AであるためにはBであることが必要なので、BはAであるための必要条件であるという。

同値

「AならばBである」かつ「BならばAである」とき、AはBの必要条件でもあり十分条件でもあることから、AはBの必要十分条件であるという。このときBもAの必要十分条件である。

この場合、AもBも表現は違えど、同じ状態を表現しているのであり、「AとBは同値である」ともいう。同値を英語でいうと、equivalenceであるが、equiの部分はequal(等しい)と、valの部分はvalue(値)と同じ語源である。この場合のvalue(値)というのは、単純な数値のことではなく「状態を評価(evaluate)した結果」のことを指していると思われる。

裏と逆

「AならばBである」の裏は「AでないならばBでない」である。「AならばBである」の逆は「BならばAである」である。

ここで注意しなければならないのは、「AならばBである」が真であっても、「裏」や「逆」は「必ずしも」真ではないということである。「AならばB」のときに、逆が真であるかどうかは、AでなくてもBの場合があるかどうかにかかっている。

この点に関する誤りは「=」の記事が詳しい→ 「=」

「裏」や「逆」とは真偽が一致しなくても、「裏」の「逆」である対偶とは真偽が一致する。ちなみに、「裏」と「逆」は対偶の関係にあるため真偽が一致する。

関連動画

関連項目

• 数学 / 論理学 / 命題 / 背理法
• 裏 / 逆
• 逆は必ずしも真ならず
• 必要条件 / 十分条件
• 前件否定 / 後件肯定
• = / 同値 / ≡
• ウェイソン選択課題
• 数学関連用語の一覧