無限大とは (ムゲンダイとは) [単語記事]

無限大(∞)とは、めっちゃ大きい何かである。

際限が無いことの例えでもある。

概要

無限大とは、「限り無く大きな数」を形式的に表したものである。あくまでも形式的なものであり具体的な数字としては定義できないため、普通の数や変数として扱うことは厳禁とされる。一方で、「とにかく大きい」「際限無くひたすら大きくする」という意味の記号として便利であるため、極限の計算をするときなどに(注意して扱うならば)便利である。

なぜ注意しなければならないかといえば、無限大を普通の数と見なすと偶奇性や素因数分解の一意性のような性質を失ったり、通常の演算を施した時に正常な数と同じ振る舞いをしなくなるからである。全ての素数の積などが典型であろう。

無限大を数と見なすと病的な振る舞いをするため、数学においては∞を正面から扱うことはせず、形式的な何かにとどめたり、極限の代わりの記号として用いたりするのが通常である。∞を数字のように扱っている場合は何らかの数列の極限を想定していることが多い。

似たようなものとして、無限小(絶対値がめっちゃ小さいもの≒0)、負の無限大(-∞と書く)、無限遠点(絶対値が∞になる複素数列の極限)がある。

無限大の性質

無限大は「とにかく大きい」ことを表す記号である。そのため、例えばaを任意の実数として、形式的にa<∞という式を作ることができる。

また、「全ての自然数nに対して十分大きなNがあり、[～]となる」(ε-N論法)のシンタックスシュガーとして、「lim_n→∞ [～] 」と書くのが便利である。さらにそのシンタックスシュガーとして、∞±a=∞、∞×|a|=∞、a/∞=0、などが利用される。感覚としては、「∞に定数を足しても掛けても∞なのは変わらんだろ」「定数は∞に比べたらほぼ0だろ」といった感じである。

安易にやってはいけない計算は、∞-∞、∞/∞、∞×0などである。極限の代用記号としての∞は、数列の∞に向かうスピードによって結果が変わるためである。

∞-∞の例

lim_n→∞ 2n-n=∞ (∞-∞=∞)
lim_n→∞ n-(n-a)=a (∞-∞=a)
lim_n→∞ (√n)-n=-∞ (∞-∞=-∞)

同じ式でも違う結果にすることができた。∞はあくまで形式的な記号であり、ただ式を立てただけではほとんど意味を成さないため誤った推論を導く温床になってしまう。そのため∞の含まれた式は書いた人が何を意味しているか注意して読み取る必要がある。

濃度

無限大という言葉は集合の要素の個数(濃度、あるいは基数と呼ぶ)の意味で用いられることが多い。というより通常こちらがメイン。

集合の要素が有限の個数nであるとき、濃度はnである。有限集合の場合は要素の個数が一致すれば濃度は一致するし個数が違えば濃度も違う。全体集合と真の部分集合は濃度が必ず異なる。

しかし、無限集合の場合は同じ無限大といっても無限大の大きさがぜんぜん違うことがあるし、ある集合とその部分集合の濃度が一致することもある。

例えば、自然数のほとんど全てが合成数であり素数は非常に少ないが、素数に全ての自然数を使って番号を振ることができるため、自然数全体と素数の個数は等しい。一方で、自然数全体の個数は実数全体に比べたらほとんど無いに等しいくらいに少ない。集合の要素に自然数全てを使って番号を振ることができるときは可算無限、自然数全てを使っても番号を振ることができないくらい多い時は非可算無限という。

知識としては通常この二つで十分だが、非可算無限以降、集合の大きさを好きなだけ拡大することができる。濃度の比較には対角線論法を使う。

例

集合xに対し、ベキ集合をp(x)、濃度を|x|で表す。ここでは可算無限濃度をω0と表す。

|{1,2,,,n}|=n
|p({1,2,3})|={{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}=8
|N|=|{自然数全体}|=ω0
|{素数全体}|=ω0
|{有理数全体}|=ω0
|{実数全体}|=ω1
|2^N|=|{0, 1}^N|=ω1 (非可算無限)
|p(N)|=ω1
|p(p(N))|=ω2 (関数濃度と呼ぶことがある)
|p(p(p(N)))|=ω3

ベキ集合を作る作業を繰り返すことで、ωN、ω ω、ω^ω、…、などと際限無く続けることができる。

一番小さな無限大濃度は可算無限 ω0である。

無限大単語

概要

無限大の性質

濃度

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