積分

積分とは、数学の分野のひとつであり、微分と合わせて非常に応用分野が広い。学校では「微分の逆バージョン」として教えられることが多いが、それが積分の定義なのではない。

概要

例えば、ある道のりを車で1時間かけて走り、その間のスピードメーターの指した値を逐一記録したとする。この時、走行距離をスピードと時間から求めることにする。

もし、常に一定の速さで進んでいたのなら、その速さに時間を掛ければよい。しかし、走行中に加速、減速、停止を繰り返せば、その度にスピードメーターの針が動くため、速さをひとつに絞ることができない。しかし、速さの最大値と最小値はわかっているのである。これに時間を掛けることで、走行距離のとり得る値の最大値と最小値を求めることができる。つまり、走行距離はこの範囲内に存在しているのである。

では、走行距離を求めるにはどうすればよいか。その為には、さらに値の範囲を絞り込んでいけばよい。先ほどは1時間の間での速さの最大値と最小値を求めた。では、今度は前半30分と後半30分に分けて、それぞれの速さの最大値と最小値を求めることにしよう。それに時間を掛ければ、それぞれの区間での走行距離のとり得る値の最大値と最小値を求めることができる。最大値同士、最小値同士を足せば、全体での走行距離のとり得る値の最大値と最小値になる。

ここで重要なのは、前半後半に分けたときの速さの最大値は、全体での速さの最大値を上回らないことである。同様に、前半後半に分けたときの速さの最小値は、全体での速さの最小値を下回らない。このことから、分割したほうが、より値を絞り込めることがわかる。

このようにして、分割を限りなく細かくしていけば、走行距離のとり得る値の最大値と最小値はそれぞれある一定の値に近づくのである。その値が一致すれば、それが走行距離なのである。

このように、瞬間的な変化の割合から全体的な変化を求める操作を積分という。先ほどの例で言うと、道のりは瞬間の速さを時間で積分したものといえる。

定義

定積分

ちゃんと説明しようとするとかなり長くなるんで、概略を説明するよ。まず、∫_a^bf(x)dxを、f(x)≧0のときにグラフに囲まれた面積になるように定めるために、次のように考える。

まず、区間[a,b]を分割する。分割っていうのは、いくつかの区間に分けること。等間隔に分ける必要はないけど、「分割の大きさ」を「分割によって分けられた区間の最大の幅」と定義しておくよ。分割が全体的に細かくなれば、これが小さくなっていくわけだ。逆に分割の粗い所が1箇所でもあると、他を細かくしても分割の大きさは小さくならない。

分割がひとつ与えられたら、それぞれの区間での最大値をとる。それに区間の幅を掛けて、合計する。右の図でいうと、赤い部分と青い部分の面積の和のことだ。すると、グラフに囲まれた面積はこの値より大きくならないね。それぞれの区間での最小値に関しても最大値と同じように計算する。右図では赤い部分の面積のこと。囲まれた面積はこの値より小さくならない。つまり囲まれた面積のとり得る範囲がわかるわけだ。右図の青い部分の面積だけ不確定な部分があるということだね。

分割の大きさを0に限りなく近づけていった時、囲まれた面積のとり得る範囲が限りなく狭くなるならば(青い部分の面積が限りなく小さくなるならば)、これを∫_a^bf(x)dxと定める。これが定積分の定義。もっと厳密に知りたければ、Wikipediaとかを見ればいいと思うよ。

不定積分

積分区間[a,b]のうち、aを固定して、bを変数のように扱うと、bの関数ができる。ただ、関数は通常xの式で書かれるから、積分区間を[a,x]とするよ。このままさっきの定積分の式にあてはめると、f(x)のxとかぶるから、fの変数はtとしておく。すると、∫_a^xf(t)dtという式が得られる。これはaの値によって色んな式が出てくるけど、違うのはxと無関係な定数項だけ。これは∫_a^xf(t)dt=∫_b^xf(t)dt+∫_a^bf(t)dtという式からわかるね。つまり、ある関数F(x)が存在して、すべてのaに対し、∫_a^xf(t)dt=F(t)+Cを満たす定数Cが存在する、ということ。F(x)はaの値とは無関係の関数で、Cはaの値によって変化するよ。このF(x)+Cを、f(x)の不定積分といい、∫f(x)dxと書く。

微分積分学の基本定理

連続関数の不定積分は、微分すると元の関数に戻る、という定理。元々別の概念であった微分と積分が正反対の操作であることを表したものである。しかし高校で積分を習う際に最初に書かれているので、これを定義だと思い込んでしまう人も少なからず存在する。

そもそもこの定理は、連続関数について成り立つものであるが、連続でない関数も積分することはできる。しかしその場合、微分しても元に戻るとは限らず、この定理は成り立たない。高校までは、積分で習うのは連続関数のみであるが、一般に積分と聞いて「あ、微分の逆バージョンね」と即座に反応すべきではないだろう。

ちなみに、考え方としても微分と積分では積分のほうがずっと古く、微分が古くみても11-12世紀頃のイスラム数学までしか遡れないのに対し、積分に相当する「取り尽くし法」は古代ギリシャですでに利用されていた。有名なユークリッド『原論』でもこれを用いて円の面積や様々な立体の体積を計算している。ここからニュートン・ライプニッツによって両者の関係が見いだされるまで500年ほど掛かっているわけである。

学校教育における順序の逆転

上に述べられてきたように、積分は面積を求めるために考え出されたのである。そこから定積分の概念が生まれ、不定積分へと発展し、微分積分学の基本定理が証明された。しかし日本の高校では、不定積分を微分する前の関数として教えられる。定積分の計算は不定積分を用いて行われ、定積分を用いて面積を計算するのはその後である。順序が完全に逆転しているのである。

実際、微分の定義は教科書に載っているが、積分の定義は載っていない。区分求積の問題はあるものの、それを不定積分を用いて解くのは本質的とは言えない。このように、高校数学では微分積分学の基本定理を前提として積分を教えているのである。確かに積分の定義は難解であるし、積分を計算の道具として使う人にとっては基本定理さえわかれば十分なのだろう。

しかしこれでは、積分の解釈が定義と違うものになるだけでなく、なぜ定積分を使って面積を求められるのかがわからない。小学校時代に、分数の割り算を教わったであろう。その際に、「ひっくり返して掛ける」と、計算の仕方だけ教えられたと思う。これでは、なぜ計算が成り立つのかまではわからない。そのため、違和感を拭い去れないまま計算を強いられた人が多いのではないだろうか。これは分数や割り算のちゃんとした定義が教えられていないからだ。不定積分に上端と下端を代入して面積を求めることに違和感を覚えるかどうかは人によるが、計算の仕方だけ教えられても、きちんとした理解には至らないのである。

すべての数学的概念には定義がある。しかし、それは教科書で教えられていないものも存在する。しかし、議論で前提になるのは定理よりも定義なのである。理系に進む人は特に、定義が何なのであるかをしっかりと理解する必要があるのではないだろうか。

積分のテクニック

順序が逆転しているとはいえ、高校数学では積分そのものについて考えるより、積分を計算することのほうが主である。しかし、積分では微分と違って「この形にはこれ」というような解き方のパターンは必ずしも存在するとは限らない。実際、∫e^-x2dxは、高校までに習う関数の形では表すことができない。ここでは、微分積分学の基本定理を用いた積分のテクニックをいくつか紹介する。

置換積分

∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt ※t=g(x)

xの式を変数tで置き換えることによって、式を簡略化する方法。これを用いると、tan xを積分することができる。

部分積分

∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx

被積分関数が複数の式の積で表されるときに適用できる方法。これを用いると、log xを積分することができる。

積分可能性

上記で述べられてきたのは、積分の中でもリーマン積分と呼ばれるやり方だ。これは直感的な理解がしやすい反面、適用できる関数は限られる。例えば、χ_Q(xが有理数のとき1を返し、無理数のとき0を返す関数。χはエックスではなく、ギリシャ文字のカイ)はリーマン積分不可能である。区間はどんなに狭くても、その中に有理数と無理数が存在する。つまり、χ_Qは積分区間をどんなに細かく分割しても、最大値が1、最小値が0のまま変わらない。よって値のとり得る範囲を絞り込めないのである。

では、このような関数の場合どうやって積分を求めるのか。そこで用いられるのがルベーグ積分である。これはリーマン積分よりも多くの関数を積分でき、リーマン積分が可能なら値が一致するのである。非常に便利ではあるが、それを理解するには測度の話からしなければならず、非常に難解である。簡単に言うと、リーマン積分はグラフを縦に分割したのに対し、ルベーグ積分はグラフを横に分割する。

ベクトル解析

積分に関連する形で、微分形式と関係のあるベクトル解析について軽く触れる。

Fがベクトル場とは、R^nの部分集合Aで定義されたR^nの値を取る関数F : A→R^nのことをいう。以下3次元に限定するので、関数F(x) = u(x)i + v(x)j + k(x)kと書ける。 (i, j, kは単位ベクトル) つまり、位置xに何らかのベクトルがある。

fがスカラー場とは、関数f : A→Rのことをいう。つまり、位置xに何らかの実数値がある。

線積分

Fをベクトル場とする。線積分は、∫[C] (F・ds)で表される。Cはある曲線で、曲線Cに沿ってベクトル場を線積分するという。

C上のxが時刻tの関数で表せるとき、即ちx=x(t)と書くとすると、dsはxの微分x'(t)dtを意味し、F・dsはFとdsの内積、即ち、

∫[C] (F・ds) = ∫(F(x)・x'(t))dt

を意味する。

線積分は、1次元実数値関数の積分の拡張で、例えばFを1次元F(x)だとし、Cをx軸に取り、Fをy軸に取れば、線積分∫[C](F・ds)=∫[C] Fdxとなって普通の面積の計算になる。つまり線積分は、3次元座標における、量Fの曲線Cに沿った「面積」を計算していることになる。

面積分

Fをベクトル場とする。面積分は、∫∫[S] F・dAで表される。ここでSはある曲面で、dAはS上の単位法ベクトル場である。もう少し分かりやすくdAを説明すると、dAはS上の微小面dSに対して垂直で、大きさが微小面積になるようなものである。

ストークスの定理(グリーンの定理の拡張)では、∫∫[S] (rotF)・dA = ∫[C] F・dsであるという。ここでCは曲面Sの境界とする。

もしもSが閉曲面であれば、適当な閉曲線の境界Cを取り、その境界でSをΩ, Ω'と分割することでそれぞれ計算でき、∫∫[S] (rotF)・dA = 0である。

ガウスの定理では、∫∫∫[D] (divF)dv = ∫∫[S] F・dAであるという。ここでdvは体積素dxdydz、Dはある空間領域、SはDの境界面である。

面積分は、線積分のように考えると量Fの曲面Sに沿った「体積」を計算していることになる。例えば2次元(x, y)で考えると、x軸にx, y軸にy, z軸にF(x, y)を取って、xy平面上の面Sとz = F(x, y)の作る曲面と(垂直な壁)で作られる体積を求めることになる。

複素解析

関数や積分を実数だけじゃなくて複素数にしてみる、という試みが複素解析である。数学で最も美しい理論の1つだといわれている。

複素関数の積分は、∫[C] f(z)dz = ∫[a, b] f(z(t))(dz/dt)dtで表される。つまり、複素平面上の曲線Cに沿ってf(z)を積分するとは、曲線C上の点をtで表し、線積分(1次元)することである。

当然、積分路Cによって結果が異なる。ところがf(z)が領域Dとその境界∂Dで正則ならば、∫[∂D] f(z)dz = 0となる、コーシーの積分定理がある。正則な関数とは、結果的には、zの多項式関数である。

このコーシーの積分定理から、ある複素関数f(z)をローラン展開といわれる、(x-c)^nの形の和にすることで積分する際に(x-c)^(-1)の係数のみが特別な意味があることが分かる。この係数を留数といい、Ref [z=c] f(z)dzで表す。そして、次の留数定理が導かれる。

(留数定理) f(z)は単純閉曲線Cの内部に孤立特異点c_1, ..., c_Nを持つ以外は正則とする。このとき、(1/2πi)∫[C] f(z)dz = Σ[j=1, N] Res [z=c_j] f(z)dz。

留数定理を使うと、ローラン展開という代数的な操作で求められる値の和が、複素積分の値になるので積分が容易に求まる。例えば正規分布などで出てくる、ガウス積分∫[-∞, ∞] e^(-x^2)dxも計算できる。

ルベーグ積分

ルベーグ積分も、概略を説明することにするよ。リーマン積分では、区間の幅を考えていたね。区間は実数からなる集合(実数全体の集合の部分集合)なんだけど、区間の「幅」に相当するものを、区間以外の集合についても考えることにする。これが測度。測度は、集合の大きさを表す尺度のひとつとされ、次のような性質をもつよ。

• 無限大も含め、0以上の値をとる
• 空集合の測度は0
• 互いに排反な集合の列に対して、それらの和集合の測度は、測度の和に等しい

リーマン積分では積分区間を分割したけど、ルベーグ積分では値域を分割するんだ。これが縦と横の違い。分割したら、それぞれのyの区間について、その区間内に値をとるようなxの集合を考える。右図では、同じ色の領域のx座標が同じ集合に入るよ。その集合の測度に、yの区間の最小値を掛ける。右図では各色の面積のこと。これらの値を合計すれば、求めたい積分より小さい値になるね。分割を細かくしていけば、積分の値に近づくわけだ。

ちなみに、χ_Qはいかなる区間で積分しても0になる。これは有理数全体の測度が0だから。つまり、実数はほとんどすべて無理数だったのさ。

関連項目

• 数学
• 微分

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