虚数 単語

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虚数とは、

  1. 実数でない複素数のこと。
  2. 二乗して0未満の実数になる数のこと。純虚数とも呼ぶ。

本稿では1.について述べる。

概要

1545年にイタリア数学者であるジェロラモ・カルダーノが、3次方程式の解法を示すために初めて導入する。1572年には、同じくイタリア数学者であるラファエルボンベリが、数学的な定義をした上で諸問題を整備した。

発案された当時は、まだ世間では負の数やゼロでさえ実在しない数として扱われていたため、実在しない数の平方根を要素に含む虚数は、輪を掛けてありえない数であった。この「ありえない数」に「虚数(imaginary number)」という名前を与えたのはルネ・デカルトであるが、デカルト自身は虚数を否定的に捉えていたようである。いずれにせよ、「ありえない数」「実在しない数」という感覚が篭っているネーミングである。

なお、この時代(ルネサンス期)に小数点による小数表記及び対数ジョン・ネイピアにより発明されている。

その後レオンハルト・オイラーにより幾何学と虚数の間に渡しがなされ、カール・フリードリヒ・ガウスにより複素数面(ガウス面)が提案されると、幾何学的な問題を代数学的に扱うためのツールとして脚を浴びることとなった。オイラーの功績については「虚数単位」の項が詳しいので、別途参照して欲しい。

現代においては、電磁気学や量子力学といった物理学分野や、信号処理や制御理論といった工学分野で当たり前のように用いられている。

数学的な定義と基本演算

複素数zを、以下のように定義する。

このうちb≠0のものが虚数である。

ガウス面においてはx座標にa、y座標にbをプロットすることでzを二次元上の点として扱う。またガウス面状では、原点とzを結ぶ直線とy軸の成すθとするとき、以下が成り立つ。

また、四則演算(特に乗除)はこのようになる。

  • z = a + bi = r(cosθ+isinθ) , w = c + di = s(cosφ+isinφ)
    • r = (a2+b2) , s = (c2+d2)
  • z + w = (a + b) + (c + d)i
  • z - w = (a - b) + (c - d)i
  • z × w = (ac - bd) + (bc - ad)i = rs{cos(θ + φ) + isin(θ + φ)}
  • z ÷ w = (ac + bd)/(c2 + d2) + (bc - ad)i/(c2 + d2) = r/s{cos(θ - φ) + isin(θ - φ)}
    • ただしs = |w| > 0 に限る(0での除算は出来ないため)

なお、電磁気学では電流をiで表すことが多いため、虚数単位jと表記するのが慣例である。

モチーフとしての虚数

「存在しない」「数学物理の難解な理論に頻繁に用いられる」などのイメージから、創作近代以降のオカルトモチーフとして虚数が用いられることがある。
近代オカルトでの用法の代表例には所謂生命の(セフィロト)の対極である「邪悪の(クリフォト)」がある。

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