誕生日のパラドクス

誕生日のパラドクスとは、20％くらいじゃない問題である。

概要

問題としては次の2パターンがある。

• 40人のクラスで、少なくとも一組は誕生日が同じの人の組が出来る確率p
• 誕生日が同じの人の組が少なくとも一組いる確率が、50%を超える最小の人数n

どっちでも本質的には同じなので、上で話を進めることにする。ただし、2月29日生まれの人は存在しないことにする。誕生日は365日偏りが無いということにする。なぜならめんどくさいから。

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＼　/: : : : : :／/.l l 　　　　＼／　　 .l:lV: ｀: : : : : :l　　　　20％くらいじゃなイカ？
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#ifdef 高校生程度の数学知識

「少なくとも」と言われたら余事象で考えるのは高校数学のお約束なので、誕生日が全員違う確率を考える。一人ずつ誕生日を考えると、2人目が1人目と違う確率は364/365、3人目が1人目＆2人目と違う確率は363/365、4人目は362/365、・・・k人目は(366-k)/365、となる。そんなわけでk人のクラスの場合に求めるべき確率p_kは、全確率からk人全員の誕生日が違う確率を引いたものになるので、

pk ＝ 1－｛（	365	）・	364	・	363	・	362	・・・	365－k＋1	} ＝ 1－	365Ｐk
	365		365		365		365		365		365k

（ ∵ nＰk ＝ n・(n－1)・(n－2)・・・(n－k＋1) ）

となる。問題のクラスは40人なので、k＝40としてp＝p_k=40を考えよう。

p ＝ 1－	365Ｐ40
	36540

google電卓での計算結果はリンク先の通り。（何故か順列の計算ができないので関係式 ₃₆₅P₄₀ = ₃₆₅C₄₀*40！ を利用した。）

なお、 http://keisan.casio.jp/has10/Free.cgi に「 1-permutation(365,n)/365^n 」を放り込んでも計算できるので、お暇ならどうぞ。

#endif

そんなわけで、

「40人のクラスで、少なくとも一組は誕生日が同じの人の組が出来る確率p」は約89.1%

と高い確率になる。この値が直感と反するというのが、この問題がパラドクスと呼ばれる所以である。

関連動画

関連項目

• 数学
• 数学板
• 誕生日攻撃
• パラドックス