贋金と天秤

この記事は第482回のオススメ記事に選ばれました！ よりニコニコできるような記事に編集していきましょう。

贋金（がんきん）と天秤（てんびん）とは、天秤を使って贋物（にせもの）の金貨を探すパズルである。

概要

贋金と天秤は、いく枚かの金貨に混じっている本物とは重さが異なる贋物を、天秤ばかりを限られた回数だけ使用して特定するパズルである。

なお、本稿ではこのパズルを「贋金と天秤」として扱うが、「天秤とコイン」「偽の金貨と天秤」「8枚のコイン」「天秤問題」「贋金鑑定問題」など、さまざまな呼称がある。また、金貨ではなく金塊や分銅とするものもあるが、いずれもパズルの内容は同じ。

8枚の金貨

贋金と天秤のパズルは、1945年、E.D.Schellがアメリカの数学誌『American Mathematical Monthly』で提起したものがはじまりとされる。そのパズルは以下のような問題であった。

8枚の金貨があり、うち1枚は本物よりわずかに軽い贋物である。

天秤ばかりを2回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

ヒントはこちら

天秤ばかりの左右の皿に、金貨を同じ枚数ずつ載せて重さを比べよう。天秤ばかりは左右の重さが異なれば傾き、等しければ釣り合う。

解答はこちら

まず、天秤ばかりに金貨を3枚ずつ載せて重さを比べる。どちらかに傾けば、軽かったほうの3枚のいずれかが贋物である。釣り合えば、載せていない2枚のどちらかが贋物である。

つぎに、贋物が混じっているグループから金貨を1枚ずつ選び、天秤ばかりに載せて重さを比べる。どちらかに傾けば、軽かったものが贋物である。釣り合えば、載せていないものが贋物である。

天秤ばかりは、1回の操作で「左<右」「左=右」「左>右」の3通りの情報のうち1つをもたらすため、本物より軽い贋物が1枚だけ混じっている場合には、N回の操作で最大3^N枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。上記の問題も、天秤を2回使うのであれば、最大で3²=9枚の金貨の中から贋物を判別可能であるが、あえて8枚とすることで、3枚ずつ載せて比較するという発想が得にくいよう工夫されている。

13枚の金貨

8枚の金貨のパズルの発展形として、H.D.Grossmanがアメリカの数学誌『Scripta Mathematica』で、12枚の金貨のパズルを提起した。これは後に13枚の金貨のパズルとして発展した。

13枚の金貨があり、うち1枚は贋物である。

贋物の重さは本物とわずかに異なるが、本物より軽いか重いかは分からない。

天秤ばかりを3回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

ヒント①はこちら

本物と確定した金貨をうまく活用するとよい。天秤ばかりの一方に本物のみを載せて傾いたなら、もう一方には贋物が混じっており、それが本物より軽いのか重いのかまで分かる。

ヒント②はこちら

初手は4枚ずつ載せて重さを比べる。

解答はこちら

説明のために、13枚の金貨それぞれを ABCDEFGHIJKLM とする。

まずは、天秤ばかりに金貨を4枚ずつ、ABCD と EFGH を載せて重さを比べる。

• ABCD が EFGH より軽かった場合、軽かったほうの4枚（ABCD）に軽い贋物が混じっている、もしくは重かったほうの4枚（EFGH）に重い贋物が混じっている。また、載せていない5枚（IJKLM）はすべて本物である。
  つぎに、天秤ばかりに ABCEF と IJKLM を載せて重さを比べる。
  • ABCEF が軽かった場合、ABC のいずれかが軽い贋物であるので、A と B を比べればよい。
  • ABCEF が重かった場合、EF のどちらかが重い贋物であるので、E と F を比べればよい。
  • 釣り合った場合、D が軽い贋物、もしくは GH のどちらかが重い贋物であるので、G と H を比べればよい。
• ABCD が EFGH より重かった場合、上記と同様に考えればよい。説明は割愛する。
• ABCD と EFGH が釣り合った場合、載せていない5枚（IJKLM）に贋物が混じっている。また、天秤ばかりに載せた8枚（ABCDEFGH）はすべて本物である。
  つぎに、天秤ばかりに IJK と ABC を載せて重さを比べる。
  • IJK が軽かった場合、IJK のいずれかが軽い贋物であるので、I と J を比べればよい。
  • IJK が重かった場合、IJK のいずれかが重い贋物であるので、I と J を比べればよい。
  • 釣り合った場合、LM のどちらかが贋物であるので、L と A を比べればよい。

天秤ばかりを2回使ってよい場合は最大4枚、4回使ってよい場合は最大40枚、N回使ってよい場合は最大(3^N-1)/2枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。

派生

贋金と天秤のパズルは、いくつかの派生パズルが考え出されているので紹介する。

14＋1枚の金貨

本物と確定している金貨が1枚用意されているパズル。たとえば以下のようになる。

14枚の金貨があり、うち1枚は贋物である。

贋物の重さは本物とわずかに異なるが、本物より軽いか重いかは分からない。

天秤ばかりを3回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

ただし、本物だと分かっている金貨が1枚あるので使ってもよい。

ヒント①はこちら

考え方は13枚の金貨のパズルと同じ。

ヒント②はこちら

初手は5枚ずつ載せて重さを比べる。

解答はこちら

説明のために、14枚の金貨それぞれを ABCDEFGHIJKLMN 、本物の金貨を O とする。

まずは、天秤ばかりに金貨を5枚ずつ、ABCDE と FGHIO を載せて重さを比べる。

• ABCDE が FGHIO より軽かった場合、軽かったほうの5枚（ABCDE）に軽い贋物が混じっている、もしくは重かったほうの O 以外の4枚（FGHI）に重い贋物が混じっている。また、載せていない5枚（JKLMN）はすべて本物である。
  つぎに、天秤ばかりに ABCFGH と JKLMNO を載せて重さを比べる。
  • ABCFGH が軽かった場合、ABC のいずれかが軽い贋物であるので、A と B を比べればよい。
  • ABCFGH が重かった場合、FGH のいずれかが重い贋物であるので、F と G を比べればよい。
  • 釣り合った場合、DE のどちらかが軽い贋物、もしくは I が重い贋物であるので、D と E を比べればよい。
• ABCDE が FGHIO より重かった場合、上記と同様に考えればよい。説明は割愛する。
• ABCDE と FGHIO が釣り合った場合、載せていない5枚（JKLMN）に贋物が混じっている。また、天秤ばかりに載せた10枚（ABCDEFGHIO）はすべて本物である。
  つぎに、天秤ばかりに JKL と ABC を載せて重さを比べる。
  • JKL が軽かった場合、JKL のいずれかが軽い贋物であるので、J と K を比べればよい。
  • JKL が重かった場合、JKL のいずれかが重い贋物であるので、J と K を比べればよい。
  • 釣り合った場合、MN のどちらかが贋物であるので、M と A を比べればよい。

複数枚の贋金

贋物が2枚以上混じっているパズル。たとえば以下のようになる。

7枚の金貨があり、うち2枚は本物より軽い贋物である。

天秤ばかりを3回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

解答はこちら

説明のために、7枚の金貨それぞれを ABCDEFG とする。

まずは、天秤ばかりに金貨を3枚ずつ、ABC と DEF を載せて重さを比べる。

• ABC が DEF より軽かった場合、ABC の3枚と載せていない G の併せて4枚の中に、軽い贋物が2枚混じっている。よって、A と B を載せて重さを比べ、A と C を載せて重さを比べればよい。
• ABC が DEF より重かった場合、上記と同様に考えればよい。説明は割愛する。
• ABC と DEF が釣り合った場合、ABC のいずれか1枚と、DEF のいずれか1枚が贋物である。よって、A と B を載せて重さを比べ、D と E を載せて重さを比べればよい。

この解法は一例であり、別解もあるがここでは割愛する。

最大枚数と最少回数

贋物を見つけ出すためには天秤ばかりを最少何回使えばよいか、あるいは、最大何枚の金貨の中から贋物を見つけ出せるかを問うものもある。パズルというよりは数学の問題に近い。

• 本物より軽い贋物が1枚混じっている場合、天秤ばかりをN回使えば、最大3^N枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。
  • 天秤ばかりを1回使えば3枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。以下、天秤ばかりを2回使えば9枚、3回使えば27枚、4回使えば81枚、5回使えば243枚、6回使えば729枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。
• 本物より軽いか重いか分からない贋物が1枚混じっている場合、天秤ばかりをN回使えば、最大(3^N-1)/2枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。
  • 天秤ばかりを2回使えば4枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。以下、天秤ばかりを3回使えば13枚、4回使えば40枚、5回使えば121枚、6回使えば364枚の金貨の中から贋物を見つけ出せる。
  • 金貨が2枚（本物1枚と贋物1枚）しかない場合は、どちらが贋物なのか判別できない。

袋に入った金貨

金貨が袋に入っているパターンのパズルも知られているので紹介する。

10gの金貨が10枚ずつ入った袋が10個ある。

しかし、11gの贋物だけが入った袋が1つ混じっているという。

はかりを何回使えば贋物の袋を見つけられるだろうか。

解答はこちら

はかりを1回使うだけでよい。

1番目の袋から1枚、2番目の袋から2枚、…9番目の袋から9枚をそれぞれ取り出して、45枚を同時に量る。もし結果が451gであれば、1番目の袋の金貨が贋物である。452gであれば、2番目の袋の金貨が贋物である。459gであれば、9番目の袋の金貨が贋物である。そして、450gであれば、1枚も取り出していない10番目の袋の金貨が贋物である。

このパズルは重さをはっきりとさせていることが特徴で、贋金と天秤のパズルを下敷きにした一種のひっかけ問題と考えることもできる。なお、贋物の袋の個数が不明なパターンもあるが、考え方は似ているため、説明は割愛する。

ひっかけクイズ

贋金と天秤のパズルに関するひっかけクイズも知られている。

8枚の金貨があり、うち1枚は本物より軽い贋物である。

天秤ばかりを最少何回使えば贋物を見つけられるだろうか。

本来の答えは、上で述べたように2回であるが、この場合は次のような答え方もある。

解答はこちら

• 1回：1枚ずつ天秤ばかりに載せれば、運が良ければ1回で特定できるから。
• 0回：天秤ばかりを使わずとも、手に取っただけで分かるほどの明らかな重さの違いがあったから。

関連動画

12個の分銅のパズル。
1:08から、8つのりんごのパズル。

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関連静画

関連項目

• 数学
• パズル
• クイズ
• コイン