面積図

面積図とは、長方形等の図を使って数量の関係を表したものである。

概要

長方形は、縦と横の長さの積が面積になる。そのため、数量の積の関係を、長方形の縦と横と面積にあてはめて書くことができる。これにより、数量の関係を幾何的に捉えることができる。

鶴亀算は、1次方程式を使えば簡単に解けてしまうが、算数では未知数を文字で置かずに解くことが要求される。面積図を使うと、未知数を長さとして考えることができるので、方程式の知識がなくても解くことができる。

例

例題：鶴と亀が合わせて7匹、足の数が全部で24本ある。鶴と亀のそれぞれの数はいくらか。

面積図は右のような図を使う。青い長方形(以下、青)は鶴に関する情報、赤い長方形と緑の長方形を合わせた長方形(以下、赤と緑)は亀に関する情報を表している。いずれも、横の長さが個体の数、縦の長さが1匹あたりの足の本数を意味する。面積は、その動物の足の総数である。

まず最初にわかっているのは、鶴と亀の数の和と、足の本数の和である。前者は青と緑の横の長さの和、後者は全体の面積になる。次のようにして解く。

1. 青と緑の面積の和を求める。
2. 赤の面積を求める。
3. 赤の横の長さを求める。
4. 青の横の長さを求める。

例題でいうと、次のようになる。

1. 横の長さが7なので、面積は7×2=14
2. 全体の面積が24なので、赤の面積は24-14=10
3. 縦の長さが2なので、横の長さは10÷2=5
4. 緑の横の長さも5なので、青の横の長さは7-5=2

よって、鶴は2羽、亀は5匹。

方程式による解き方

鶴の数をx,亀の数をyとすると、

x+y=7
2x+4y=24

第1式を2倍して、2x+2y=14
第2式から引くと、2y=10
両辺を2で割って、y=5
第1式に代入して、x=2

よって、鶴は2羽、亀は5匹。

この解法は図こそ使っていないが、プロセスは前述の解法とそのまま対応している。

関連項目

• 数学
• 算数