32兆kmとは (サンジュウニチョウキロメートルとは) [単語記事]

32兆kmとは、埼玉県立浦和高校がまたしても打ち出した伝説(？)の解答である。

概要

2010年 9月3日（金）放送の高校生クイズ準決勝において出題された問題

直径10kmの隕石が衝突したとき発生する津波の高さは？

隕石は球体、密度2000kg/m³

衝突時の速度20.0km/s

衝突時の運動エネルギーの3％が海水の位置エネルギーに変換

中心から半径400kmの円心状に津波が発生

衝突地点の平均水深は4km、海水の平均密度は1000kg/m³

重力加速度g=9.80m/s²

有効数字三桁

問題監修　東北大学　今村文彦教授

準決勝に出場した4校の内3校は現実的な数値であったが（正解は 319mで1校が正解）、唯一浦和高校は「32兆km」（「有効数字3桁」という条件下のため正確には「3.21×10¹³km」）という珍すばらしい解答をしたのだった。

尚、32兆kmという単位を光年に換算すると約3.3光年となる。即ち、光の速さでも3.3年かかる距離である事を意味する。

ちなみに、数字の比較として

地球の直径は約1万3000km
太陽の直径は約139万km
海王星軌道の直径は約90億km
地球からもっとも離れた人工物ボイジャー 1号は約170億kmの位置にある
太陽の重力圏の限界が約1.6光年
最も近い恒星であるケンタウルス座アルファ星は約4.73光年

同日のニコニコなどの実況では勢いが700コメ/分を超える盛況ぶりであったが、この32兆という数字は番組が終わるまで浦和高校の代名詞になってしまった。そればかりではなく既存のネタに32兆という数字をあてはめたり解答予想に32兆というワードをあてはめたりとニコニコユーザーならではの（いい意味での）悪ふざけが目立った。

今後はネットでどういう扱いになって行くのか注目である。

ちなみに浦和高校は、「らき☆すた」解答で有名になった2007年大会も今回も準優勝だった。

計算

隕石の持つ運動エネルギー

隕石の直径は10km、つまり半径5000m。その体積は公式

V=(4/3)π×5000³
　=(4/3)(π×1.25×10¹¹)
　=(5×10¹¹×π)/3

密度が2000kg/m³なので、質量は

2000×(5.0×10¹¹×π)/3=(10¹⁵×π)/3

よって運動エネルギーは

速度20.0km/s(=20000m/2)より

E=(1/2){(10¹⁵×π)/3}(20000²)
　=(1/2){(10¹⁵×π)/3}(4×10⁸)
　=(2/3)×10²³×π…①

海水の質量

中心から半径400km(=400000m)の円心状に津波が発生、衝突地点の平均水深は4km(=4000m)とあるので、その体積は

π×400000²×4000=6.4×10¹⁴×π

密度は1000kg/m³なので

6.4×10¹⁴×π×1000=6.4×10¹⁷×π…②

津波の高さ

衝突時の運動エネルギーの3％が海水の位置エネルギーに変換とあるので、①より

(2/3)×10²³×π×3/100=2×10²¹×π…③

これが位置エネルギーに変換されるので、②、③、重力加速度g=9.80m/s²より

h=(2×10²¹×π)/(6.4×10¹⁷×π×9.8)
　=(2/62.72)×10⁴　≒0.03188×10⁴
　=318.8

以上より、有効数字3桁なので津波の高さは319 メートルとなる。

32兆kmという答えについて

32兆という数字はあまりにかけ離れているが、有効数字だけみれば答えには近い。数字としてはぶっ飛んでいるが、答えを導く過程はあっていた可能性が高い。たとえば指数の計算を間違えた、単位をそろえ忘れたなど。キロメートルのまま扱ってしまえば、最低でも3桁は狂ってくる。累乗する数字で間違えれば6桁も狂ってしまう。つまり、場合によっては14桁の計算間違いは起こりえる。

もし、これが筆記テストの問題で、計算過程も評価されるのであれば、答えが間違っていたとしても点数の50%以上は評価されるであろう(採点側により誤差あり)。

短い時間の中でどのように計算すればいいか考え、計算し、答えを出す。計算間違いがどこかにあったとしても、確認する時間などほとんどない。さすがに白紙でだすわけにはいかなかったのだろう。答えに疑問を持ちつつもボードに書いてしまったのだと思われる。