4つの4とは (ヨッツノヨンとは) [単語記事]

4つの4とは、4つの「4」から任意の数を作る数学パズルである。Four fours（フォーフォーズ）。

概要

Four Fours（4つの4）は、4つの「4」と四則演算などの数学記号を用いて、目的の自然数を作るパズルである。4以外に使ってよいのは記号のみだが、同じ記号を複数回使ってもよい。以下に示すように、1桁の数はすべて四則演算の記号と括弧のみを用いて求められる。

10は(44-4)/4のように数字をつなげたり、4*4-4!/4のように階乗などの数学記号を使ったりすれば作ることができる。

大きな数は使える記号の種類を増やしたほうが作りやすい。たとえば、ニコニコ動画・ニコニコ大百科でおなじみの数「2525」は、総和Σを使えばΣ(4!*4+4)/√4=2525のように比較的容易に作ることができる。使ってよい記号やその計算方法については、次の「ルール」の節で述べる。

四則演算（加減乗除）: 4+4*4/4=8のように、+, -, *, /の記号を使える。*は×と同じ乗算の記号、/は÷と同じ除算の記号。
括弧: (4-4/4)*4=12のように、主に計算の優先順位を変える場合に使う。
小数点: 小数点を使って4.4のように表記できる。.4は、0.4を表す（0は省略される）。例：4/.4=4/0.4=10, 4/.4/.4=25
循環小数: .4と表記し、その4の上に点を打つことで、循環小数0.444...を表す。この場合は4/9に等しい。循環節の表記法は、点を打つ以外に、循環節に下線を引く、循環節を括弧で挟むなど。例：4/.4=4/.(4)=4/0.444...=9
累乗（冪）: a^b：aをb回掛けた数。小さい上付き文字が使えない環境では、^を用いてa^b、または↑を用いてa↑bのように表記する。例：4⁴=4^4=4↑4=256
階乗: n!：1からnまでのすべての自然数の積。例：4!=1*2*3*4=24
平方根: √n：平方（2乗）するとnになる数。例：√4=2, √√√4^4!=4³=64, 4/√.4=4/(2/3)=6

このほか、4同士をつなげて44や444としてもよい。例：44/4=11, 44/√4=22

二重階乗: n!!：nが奇数なら、1からnまでのすべての奇数の積。nが偶数なら、2からnまでのすべての偶数の積。例：4!!=2*4=8, (√4/.4)!!=5!!=1*3*5=15
総和: Σn：1からnまでのすべての自然数の和。省略された形で書かれる。n?と書かれることもある。Σn=1+2+...+n、すなわち、Σn=n(n+1)/2である。例：Σ4=4?=1+2+3+4=10, Σ Σ Σ4=Σ Σ10=Σ55=1540
百分率（パーセント）: n%：n/100を意味する。例：4%=0.04, 4/4%=100
剰余（余り）: a%b：aをbで割ったときの余り。例：Σ4%4=10%4=2
ガウス記号（床関数）: [n]：n以下の最大の整数。ここでは小数点以下を切り捨てることと同じ。例：[√√4]=[1.414...]=1, [-√√4]=[-1.414...]=-2
ガンマ関数: Γ(n)：(n-1)!を意味する。例：Γ(4)=3!=6, Γ(Γ(4))=Γ(6)=5!=120

上記以外に、多重階乗、超階乗、累乗根（n乗根）なども用いられることがある。

対数と平方根を制限なく用いれば、たとえば、n=-log₄(log₄√√√…√4)^√4ですべての自然数が表せる（√√√…√の部分に√がn個続く）。そのため、log（ln）は基本的に使われない。

ニコニコ動画には、4つの4の解法を分かりやすく丁寧に解説している動画（4つの4で1～100を作ろう）が投稿されている。この動画では一般的に用いられる記号のみ使用し、解法とともに1から100まで求めている。循環小数や階乗などの説明、基本的な考え方のほか、3乗の作り方、分母を揃えて4の数を減らすテクニックについての解説もある。

また、次の「参考」の節に、1つの4、2つの4で作成できる数をある程度まとめた。組み合わせればある程度の数は容易に作成できるだろう。

1つの4と2つの4で表せる自然数のうち、3桁以内のものをいくつか掲載する。

Four fours（4つの4）は、1881年に科学雑誌『ノレッジ』に掲載されたものであるが、1000までの自然数のうち、113、157、878、881、893、917、943、946、947の9つの自然数について、解は示されなかった。

これらは、たとえば総和Σの使用を認めると、Σ(Σ4+4)+4+4=113、Σ(4!-√4)-4*4!=157のようにして作ることができる。Σ(4!)*Σ(√4)=900、Σ Σ Σ Σ(√4)*4=924を使えば、ほかの7つの自然数も容易に作成できる。

なお、小数と循環小数を利用し、4!/.√4+√4/.4=113とした例がある（下線は循環節）。すなわち、.√4と表記することで循環小数0.222...=2/9を作り出している。ただし、小数点以下、循環節が純粋な数でないので、数学的には認められないと思われるものの、パズルとしては面白い発想といえる。

2016年には、(4+4)!/(4!-4)=2016が数学愛好家のコミュニティを中心に話題となった。2017～2023は一般的に用いられる記号のみではおそらく作成できないが、√√4^4!-√4-4!=2024、((4!-4)/.4)^√4=2025は作成できる。以降は2036、2044、2046～2050などが作成可能なので、興味のある方はぜひ。