6÷2(1+2)

6÷2(1+2)とは、数学の謎である。

概要

6÷2(1+2)=？

この式は人の計算の仕方の違いが大きく出てくる。
見てる人の一部は「自分の答え」を見つけたはずだが、次の例を見てみよう。

A.1

6÷2(1+2)　=　6÷2(3)

=　6÷6

=　1

---

この計算方法では、2(1+2)を除数にし、6を被除数としている。
もちろん、あらかじめ2(1+2)を分配法則で(2+4)としてから計算した人もいるだろう。
結果、2(1+2)=6となり、6÷6で、「1」という答えが出ている。

掲示板であげられたA.1のソース

教科書において、割り算より省略表記の掛け算の方が優先されることがあげられている。
http://urx.nu/bixC
http://urx.nu/bixK
http://urx.nu/bixQ
これらのソースの中の単項式の除法の項目がそうである。
また、2(1+2)の2もしくは(1+2)を係数として見なした場合
省略表記の掛け算優先性が高まるため、定数項の係数についてのソースもあげられている。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/polynomial2.htm

A.9

6÷2(1+2)　=　(6÷2)(1+2)

=　3×3

=　9

---

この計算方法では、(6÷2)と(1+2)で分け、括弧の中を先に計算し、最終的に掛けている。
もちろん、あらかじめ(1+2)を計算した後に6÷2×3として計算した人もいるだろう。
結果、6÷2と1+2は共に3となり、3×3で、「9」という答えが出ている。

掲示板であげられたA.9のソース

2(1+2)の2もしくは(1+2)を係数としないと解釈した場合、省略表記の掛け算の優先性は
普通の乗算と同じとなるため、2もしくは(1+2)を係数としない解釈のソースがあげられている。
https://www.weblio.jp/content/%E4%BF%82%E6%95%B0
2(1+2)に変数は含まれていないから係数とは解釈しないということである。

A.解なし

さらにこの問題について、「問題がおかしい」とし解なしを解答とする意見も少なくない。
メジャーなのは

• 2(1+2)という表記について、文字式でのみ掛け算を省略表記することは許されるのであり
  数字のみの計算式には適用されないため計算不能となりA.解なし
• 適用可能だとしても÷と省略表記の掛け算の計算の優先順位について細かいルール整備がされておらず
  どちらが優先といえないため計算不能となりA.解なし
• 代数学において÷が定義されておらず、計算不能となりA.解なし

等が挙げられている。

掲示板であげられたA.解なしのソース

数字のみの計算式である2(1+2)において、2もしくは(1+2)を係数の表記をするのは不適であるとして
https://www.weblio.jp/content/%E4%BF%82%E6%95%B0
上記と同じであるがこちらのソースが使われる。

食違いの理由

なぜ「1」と「9」という食い違いが起きてしまったのだろうか？
それは、2(1+2)にあると筆記者は思う。

この2(1+2)を分かりやすく文字式で例えると、a(b+c)と解釈するか、a×(b+c)と解釈するかは人によって違う。

a(b+c)と表せば完全に計算結果であるので、2(1+2)=6と表せる。　⇒ 6÷6 = 1

しかし、a×(b+c)と表すと、結合法則が成立しない計算順序が順不同ではない計算式となる。
そのためは四則演算の左側の演算の優先性から、6÷2を先に計算するものとなり
6÷2×(1+2)は、(6÷2)(1+2)となってしまう。　⇒ 3×3 = 9

掛け算を省略表記することが是か非か等のルールが整備されていない、もしくはルールが浸透していないことによるA.解なし

ここで、食い違いが起こり、「1」と「9」と「解なし」という3つの答えが出てくるようだ。

_{（数学的に未熟な人が筆記しました。　明らかに違う箇所があったら掲示板でのご指摘・修正をお願いします。）}

6÷2(1+2)を議論することは厳密には数学的でないことについて

実は厳密な数学においてこの問題は「十分な定義がなされていない」（Not well defined)なため数学的問題として成り立っていないのである。
気を付けてほしいが「解なし」とは決して同じではない、表現が不完全なため考察の対象足りえないということである。（要は解なんぞ考える段階ではないそれ以前の問題である。）

厳密性に関する逸話

厳密性を重んじる数学者の男の逸話を紹介しよう。
夜中に酔っぱらったその男に対し警察官は正気であるか確かめるために「1+1は何か。」と尋ねた。
するとその男は「和の定義が成されていなので答えようがない。」と返したのであった。
この男は決して狂っていたのではなくむしろ数学者としては真っ当であった。（なお警察官には正気でないと判断されたようである。憐れ。）
数学は、定義が矛盾していなければどんな表現も許されるから定義がなければ答えようがないのだ。

厳密性と数学の自由に関する例

彼の考えていたことを例に取り上げるのもよいが、さらに別の例を紹介しよう。

2-3

上を見てあなたは何を思うだろうか。 2-3=-1などと言うのだろうか。数学的に考えると、これも数学者の男が答えた「正気でない解答」が正しいのである。
よく考えると2-3は算数の範囲では解なしであり、何百年も前の人に聞けば0であろうし、あるいは2から3を表しているかもしれないしただ単に二年三組かもしれない。（正気でない方達はここでは関数の演算だ、2と3がある関係をもっているんだ、２対３の対応だとかいいそうだが…）
先ほどの酔っぱらいの男性の例でも、一般的には1+1=2が正しいと思われがちだが、きちんとした定義がされていないがため1+1=田が正解である可能性やそれ以外にも様々な可能性が考慮しなければならず、一意的な解が導き出せなかったのである。

6÷2(1+2)に関しての注意

さて本題の6÷2(1+2）であるがこれも同じことが言えて、定義が決まっていないので問題そのものが数学的でないのだ。
この解決策は定義を一つに決めることなのだがそれは文化、時代背景といった価値観に依存してしまい数学の範疇にないものが必要になる。
数学では考えられないことだから冒頭の数学の謎も納得である。
厳密な意味での数学の範疇で解を決定するのは不可能なのでこの掲示板では

解を日本の義務教育に沿うか否かで議論している。
上記の厳密な意味での数学に基づいた議論をしているのではないので気を付けよう。

正気でない方達はここでは本当に正気でない人になるよ。

要約

と、まあ長々と書いてあるが、この問題は要するに

• 数字のみの式で省略形を使用出来るかどうか
• 文字式と数字のみの式での計算ルールが同じかどうか

の二点に集中する。そしてこの二点は最早数学の範疇では無い事が上記で指摘されており、計算式をどんなにぶつけ合った所で進展しない可能性が高い。現在必要なのは数学者ではなくもっと別の分野なのだろう。

第一期(掲示板レス番号>>1~1725、記事ID1945305以前)について

掲示板での議論が苛烈を極めたことにより、記事を時系列的に第一期、第二期と分けることとする。
第一期(掲示板レス番号>>1~1725、記事ID1945305以前)時点での記事の結論は「1」となっている。
その当時の記事の内容をご覧になりたい方はこのリンクをクリック！
なお現在(第二期)は基本的に第一期の内容には触れないものとする。
また、第一期の制定の理由等については掲示板の>>1692～>>1725を参照してください。

余談

台湾での結論

台湾のfacebookコミュニティでこの問題が取り上げられた時、答えは1派と9派で半々だった。
数学専門家は「普通に左から右に原則通り計算してくれ」と、答えを9であると結論付けた。

これに対し、台湾の一部の学校教育部は「間違える人が多すぎる。きちんと指導を強化していく」とコメントしている。

⇒蘋果日報（アップルデイリー）（原文ママ）
⇒上記サイトにエキサイト翻訳使用

演算ソフトの答え

• Google先生　＝　9
  • ⇒検索結果
• yahoo!先生　＝　9
  • ⇒検索結果
• bing先生　＝　9
  • ⇒検索結果
• Excel　＝　Error
  • Errorと出て修正を要求される。自動修正をすると6÷2×(1+2)と直されるので結果は9になる。
• WolframAlpha　＝　9
  
  • ⇒検索結果
• keisan　＝　1
  
  • ⇒実際に計算してみる
• 関数電卓　＝　意見分かれ、機種によって違う模様
• Apple Mac OS X (Spotlight) = 1

The Google Puzzle

http://www.thegooglepuzzle.com/

Googleが提供している謎解きゲームだが、これのバナーの一部に
この式が問題として使われている。　ちなみに答え合わせでは「9」となっている。

関連動画

関連コミュニティ

関連項目

• 算数
• 数学
• 省略された掛け算の順序問題

関連外部リンク

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