7倍角とは (ナナバイカクとは) [単語記事]

7倍角とは、着目する角度の7倍の角度を持つ角のことである。

7倍角の公式

三角関数の加法定理を繰り返し適用することで、下記の公式が導かれる。

sin7θ = 7sin θ - 56sin³θ + 112 sin⁵θ - 64sin⁷θ

cos7θ = 64cos⁷θ - 112cos⁵θ + 56cos³θ - 7cos θ

tan7θ = (7tan θ - 35tan³θ + 21tan⁵θ - tan⁷θ) / (1 - 21tan²θ + 35tan⁴θ - 7tan⁶θ)

2倍角の公式と3倍角の公式を覚えているならば4倍角・6倍角・9倍角などが導出できるので、7θを「3θ + 4θ」や「9θ - 2θ」などと分解することで加法定理の適用回数を減らすこともできる（とはいえ倍角公式は加法定理の特殊な場合をまとめたものであり、本質的には加法定理の繰り返し適用で変わりはない）。

また、ド・モアブルの定理を用いて cos7θ + i・sin7θ = (cos θ + i・sin θ)⁷ を展開し、実部と虚部を係数比較することにより求める方法もある。

7倍角事件

この項目は、2015年の大学入試センター試験のネタバレを含んでいます。
これから大学受験を控えている方は、過去問演習後の閲覧をおすすめします。

2015年度センター試験数学②（数学IIまたは数学II・数学B）の第1問で数式中に「7θ」を含む問題が出題された。

この問題を見て「7倍角の公式なんて知らない！無理！(>_<)」と投げ出してしまった受験生も多かったという。試験終了後には「7倍角」がTwitterトレンド入りするほどの騒ぎとなった。

O を原点とする座標平面上の2点 P (2cos θ, 2sin θ), Q (2cos θ + cos7θ, 2sin θ + sin7θ) を考える。

（中略）

OQ² = [ウ] + [エ](cos7θcos θ + sin7θ sin θ)
　　= [ウ] + [エ]cos([オ]θ)

（以下略）

しかし、この問題は倍角公式の適用を要求しているわけではない。「7」という数字はたまたま7だったというだけであり、8θでも9θでも334 θでも1.44 θでも、どんな数字であっても成立するのである（ただし桁数が変わるのでマークシートの解答欄の数を変える必要はあるが）。

こうした反応に対し、数学が得意な人は「これを7倍角と捉える発想はなかった……」などと驚きと困惑を隠せなかったという。

解答例

2点間距離の公式より、

OQ² = (2cos θ + cos7θ)² + (2sin θ + sin7θ)²
　　= (4cos²θ + 4cos θcos7θ + cos²7θ) + (4sin²θ + 4sin θ sin7θ + sin²7θ)
　　= 4(cos²θ + sin²θ) + (cos²7θ + sin²7θ) + 4(cos θcos7θ + 2sin θ sin7θ)
　　= [5] + [4](cos θcos7θ + sin θ sin7θ)

加法定理より cos(A - B) = cos Ac osB + sin AsinB なので、

OQ² = 5 + 4(cos θcos7θ + sin θ sin7θ)
　　= 5 + 4cos(θ - 7θ)
　　= 5 + 4cos(-6θ)

ここで[オ]のマーク数が1文字なので、変換公式 cos(-A) = cosA を用いてマイナス記号を取り除くと

OQ² = 5 + 4cos(-6θ)
　　= 5 + 4cos([6]θ)

別解

7倍角の公式を知っていた場合（またはその場で導出した場合）、下記のように展開することができる。展開結果が sin²θ と cos²θ の式になるので、半角公式を用いて cos2θ に統一するのが得策だろう。

[ウ]と[エ]までが求められた状態で、cos([オ]θ)の部分を展開する。

7倍角の公式より、

cos θcos7θ + sin θ sin7θ
= co sθ(64cos⁷θ - 112cos⁵θ + 56cos³θ - 7cos θ) + sin θ(7sin θ - 56sin³θ + 112 sin⁵θ - 64sin⁷θ)
= 64cos⁸θ - 112cos⁶θ + 56cos⁴θ - 7cos²θ + 7sin²θ - 56sin⁴θ + 112 sin⁶θ - 64sin⁸θ

半角公式 sin²A = (1 - cos2A)/2, cos²A = (1 + cos2A)/2 を用いると、

64cos⁸θ - 112cos⁶θ + 56cos⁴θ - 7cos²θ + 7sin²θ - 56sin⁴θ + 112 sin⁶θ - 64sin⁸θ
= 64(1 + cos2θ)⁴/16 - 112(1 + cos2θ)³/8 + 56(1 + cos2θ)²/4 - 7(1 + cos2θ)/2 + 7(1 - cos2θ)/2 - 56(1 - cos2θ)²/4 + 112(1 - cos2θ)³/8 - 64(1 - cos2θ)⁴/16
= 4 + 16cos2θ + 24cos²2θ + 16cos³2θ + 4cos⁴2θ - 14 - 42cos2θ - 42cos²2θ - 14cos³2θ + 14 + 28cos2θ + 14cos²2θ - 7/2 - 7cos2θ/2 + 7/2 - 7cos2θ/2 - 14 + 28cos2θ - 14cos²2θ + 14 - 42cos2θ + 42cos²2θ - 14cos³2θ - 4 + 16cos2θ - 24cos²2θ + 16cos³2θ - 4cos⁴2θ
= 4cos³2θ - 3cos2θ

3倍角の公式 4cos³A - 3cosA = cos 3A を用いて、

4cos³2θ - 3cos2θ
= cos{3×(2θ)}
= cos([6]θ)

さらに別解

幸いなことにセンター試験はマークシート方式なので、こうした当てずっぽうも可能である。

7倍角の公式より、

cos θcos7θ + sin θ sin7θ
= co sθ(64cos⁷θ - 112cos⁵θ + 56cos³θ - 7cos θ) + sin θ(7sin θ - 56sin³θ + 112 sin⁵θ - 64sin⁷θ)
= 64cos⁸θ - 112cos⁶θ + 56cos⁴θ - 7cos²θ + 7sin²θ - 56sin⁴θ + 112 sin⁶θ - 64sin⁸θ
= 64cos⁸θ - 112cos⁶θ + 56cos⁴θ - 7cos²θ + 7(1 - cos²θ) - 56(1 - cos²θ)² + 112(1 - cos²θ)³ - 64(1 - sin²θ)⁴
= 64cos⁸θ - 112cos⁶θ + 56cos⁴θ - 7cos²θ + 7 - 7cos²θ - 56 + 112cos²θ - 56cos⁴θ + 112 - 336cos²θ + 336cos⁴θ - 112cos⁶θ - 64 + 256cos²θ - 384cos⁴θ + 256cos⁶θ - 64cos⁸θ
= 32cos⁶θ - 48cos⁴θ + 18cos²θ - 1

「cos([オ]θ)」はcos(2θ)からcos(9θ)までの8通りしかないので、2倍角の公式から9倍角の公式までをすべて書き出し、上式に該当するものがないか確認する。

cos2θ = 2cos²θ - 1

cos3θ = 4cos³θ - 3cos θ

cos4θ = 8cos⁴θ - 8cos²θ + 1

cos5θ = 16cos⁵θ - 20cos³θ + 5cos θ

cos6θ = 32cos⁶θ - 48cos⁴θ + 18cos²θ - 1

cos7θ = 64cos⁷θ - 112cos⁵θ + 56cos³θ - 7cos θ

cos8θ = 128cos⁸θ - 256cos⁶θ + 160cos⁴θ - 32cos²θ + 1

cos9θ = 256cos⁹θ - 576cos⁷θ + 432cos⁵θ - 120cos³θ + 9cos θ

以上より、cos([オ]θ) は cos([6]θ) であることが求められた。