Arens-Eellsの埋め込み定理

数学におけるArens-Eellsの埋め込み定理（Arens-Eells embedding theorem）とは、任意の距離空間があるノルム空間へ一次独立な閉集合として等長に埋め込まれる、という定理である。1956年にR.F.ArensとJ.Eellsにより共同で示され、のちにE.Michaelによりその証明が簡易化された。

証明

位相空間Xに対してC(X)でX上の連続関数全体、C*(X)でX上の有界連続関数全体を表す。これらは自然に環となり、またf∈C*(X)に対して||f||=sup{|f(x)|:x∈X}によりノルム空間となる。また、Xがノルム空間のとき、X上の線形汎関数（XからRへの線形写像）全体をD(X)とすれば、f∈D(X)に対して||f||=sup{|f(x)|:||x||≦1,x∈X}によりD(X)にノルムが定義され、D(X)もノルム空間となる。D(X)をXに対する双対空間という。

さて、Xを距離空間とし、(Y,d)はXを真に含む距離空間であって、dのXへの制限はX上にもともと備わっていた距離と等しいとする。x₀∈Y-Xをとる。f(x₀)であって、あるK≧0があって任意のx,y∈Xに対して|f(x)-f(y)|≦Kd(x,y)となる連続関数f:Y→R全体をH(Y)と置く。Y上の連続関数fに対して、||f||により、任意のx,y∈Yに対して|f(x)-f(y)|≦Kd(x,y)となるKの下限を表すとする。H(Y)はこれによりノルム空間となる。H(Y)の双対空間をAとする。x∈Xとする。x*により、x*:H(Y)→R,x*(f)=f(x)なる写像を表すとする。これは線形写像であるから、x*∈Aとなる。φ:X→Aを、φ(x)=x*と定義する。これが単射であることは自明である。

φが等長であることを示す。まず、

　||φ(x)-φ(y)|| = ||x*-y*|| = sup{|f(x)-f(y)|:||f||≦1,f∈H(Y)}

　≦ sup{||f||d(x,y):||f||≦1,f∈H(Y)} = d(x,y)

である。

逆向きの不等号を示すために、y∈Yをとり、a:Y→Rをa(x)=d(x,y)-d(y,x₀)とする。このとき、a(x₀)=0であり、

　|a(x)-a(y)| = d(x,y)

よりa∈H(Y)かつ||a||≦1となる。従ってこれより、

　d(x,y) = |a(x)-a(y)| ≦ sup{|f(x)-f(y)|:||f||≦1,f∈H(Y)} = ||φ(x)-φ(y)||

となり、φが等長であることが示された。

φ(X)が一次独立であることを示すために、φ(x)がx_i∈X,a_i∈R,i=1,...,nによりφ(x)=a₁φ(x₁)+...+a_nφ(x_n)と表されたとする。g(y)=min{d(y,xi):i=0,...,n}と置くと、||g||≦1となるのでg∈H(Y)となる。明らかに、y∈Yがx_iのどれにも一致しないとき、g(y)>0であり、g(x_i)=0,i=0,...,nである。一方、

　g(x) = φ(x)(g) = a₁φ(x₁)(g)+...+a_nφ(x_n)(g) = a₁g(x₁)+...+a_ng(x_n) = 0

であるから、これからφ(X)が一次独立であることがわかる。

X*をXの完備化とする。今までに示されたことから、X*はあるノルム空間Bの中へ等長かつ一次独立に埋め込まれる。埋め込みをf:X*→Bとする。f(X*)はBの完備な部分集合であるからBで閉である。L(X)により、Bの中でf(X)により張られる部分空間を表せば、f:X→L(X)はXをノルム空間L(X)の中へ等長かつ一次独立に埋め込む写像であって、f(X)=L(X)∩f(X*)であることから、f(X)はL(X)で閉となる。

以上で示された。◻︎

関連項目

• 線形空間
• 位相空間
• ノルム空間
• 距離空間