ニコニコ大百科: 「可算無限と非可算無限」について語るスレ 1番目から30個の書き込み

可算無限と非可算無限

について語るスレ

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1 ななしのよっしん非表示

2014/08/25(月) 22:54:20 ID: C9iSnYZzN8

なんでこんな記事作られたんですかね・・・
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2 ななしのよっしん非表示

2014/08/25(月) 23:41:29 ID: u5TaM01eav

連続体「仮説は完全な証明を与え」られるだと、連続体仮説は独立ではないことになってしまうので、連続体仮説の独立性と書かないといけないと思う。

独立性だとわかりづらいか、ℵ0.5があるとしても、ないとしてもよいことが証明されたかなー
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3 ななしのよっしん非表示

2014/08/26(火) 00:00:48 ID: 8XrYOIDGuD

>>2
んー？　１行目はちょっとよくわかんないけど２行目は記事にそう書いてない？
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4 ななしのよっしん非表示

2014/08/26(火) 15:37:50 ID: 6R0oKK5tPq

読んでて気になった部分を挙げてみる。

濃度の比較のとこ、「濃度が等しい」はこれでいいんだけど「濃度が大きい」の説明はこれだとちょっとまずくて、
「AよりBの濃度の方が(真に)大きい」⇔「AとBの間で "どのようにペアを作っても" Bの元が余る」
というように、ペアの作り方に任意性を持たせないといけない。無限集合の場合は、余りの出ないペアの作り方があるからと言って、余りが出るようにペアを作ることができないわけじゃないからね。

あとアレフ数っていうのは無限基数に対して小さい順に番号(正確には順序数)を振っていったものなので、そもそも「連続体濃度はアレフ1である」という命題が連続体仮説そのもの。アレフ0とアレフ1の中間とかっていうのは最初からない。

あと比較的どうでもいい部分としては、数列(の値域)が可算無限っていうのは、狭義単調増加数列の値域、とかにしておかないとまずいとか、対角線論法のところで各桁に1を足すのは8が無限に並んでる場合に0.999...とかになって面倒だから9にならない変換にしようとか、その直後の奇遇で分けるやつ0と1が逆とか、まあそのくらいかな。
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5 ななしのよっしん非表示

2014/08/27(水) 03:39:54 ID: 8XrYOIDGuD

>>4
２番目の指摘に関してはつまり連続体仮説っていうのは「連続体濃度はアレフ２とかアレフ３とかではなくて、自然数の濃度の１コ次のやつが連続体濃度」っていう仮説ってことなのかな。だったら間違ってますね。無限に関する記事なのにフラクタル次元とかに触れられるの結構気に入ってたのに残念だけどこれはカットしないといけないね・・・

単調増加に関してはいきなり「単調増加」みたいな言葉出しても、あるいはそれをわかりやすいように説明しても、むだに説明が煩雑になるので書くのやめました。まぁ「ごまかし」の範囲内ってことで。例としてあげたやつ全部単調増加だしいいでしょってことで。

最後の指摘については全くもってもっともなので修正します。

最初の指摘についてはちょっとよくわからないのでもう少し説明してもらえると助かります。
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6 ななしのよっしん非表示

2014/08/27(水) 08:02:11 ID: GtuaoFZTwX

おつです。順序数の記事も是非作ってほしい
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7 ななしのよっしん非表示

2014/08/27(水) 08:08:00 ID: GtuaoFZTwX

>>4氏の最初の指摘について横槍で説明を入れると、自然数全体の集合{1,2,3,...} と偶数全体の集合{2,4,6,...} は余りがあるようにもペアがとれる（2↔2, 4↔4, 6↔6, ...）し、ないようにもペアがとれる（1↔2, 2↔4, 3↔6）よね、って話
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8 ななしのよっしん非表示

2014/08/27(水) 13:40:00 ID: 6R0oKK5tPq

>>5
連続体仮説についてはその理解であっています。
>>4で最初に書いた話の具体例はまさに>>7で挙げられているようなケースですね。
|A|=|B|(濃度が等しい)というのは、「過不足なくペアを作る方法が(少なくとも1つ)存在する」ということなので、そのような方法を具体的に1つ見つけるだけで示せるのですが、
|A|≠|B|(濃度が異なる)というのは |A|=|B|の否定なわけですから、「過不足なくペアを作る方法が存在しない」こと、つまり「どんな方法でペアを作っても過不足が生じる」ことを示さないといけないわけです。
よって「ある方法でペアを作ったらBの元が余った」というだけでは濃度が異なるかどうかはわからないということになります(もっともこの状況でも |A|≦|B|(等号付きの大小関係) が成り立つことは言えるので、この意味で「濃度が大きい」と言っているなら間違いとは言い切れないのですが......)。

それとせっかくなので、>>4に書いた説明をもっと正確に書いてみます(ここで「ペア」とは「方向を問わない単射」のことだとします)。
|A|=|B| ⇔ AからBへの全単射が存在 ⇔ どちらの元も余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≦|B| ⇔ AからBへの単射が存在 ⇔ Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≠|B| ⇔ ￢( |A|=|B| ) ⇔ どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る
|A|<|B| ⇔ ( |A|≦|B| ∧ |A|≠|B| )
　⇔ 「Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在」し、かつ「どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る」
　⇔ どんな方法でペアを作ってもBの元が余る
となるので>>4に書いた説明と一致します。
(さらに正確にいうと、|A|<|B| のところの最後の式変形ではこっそりベルンシュタインの定理を使ってます。ベルンシュタインの定理とは、双方向に単射が存在すれば全単射も存在する、という定理で、つまり ( |A|≦|B| ∧ |B|≦|A| ) ⇒ |A|=|B| が成り立つということです。
この定理から、「Aを余らせない方法と、Bを余らせない方法はあるけど、どちらも余らないようには出来ない」という状況が起こりえないことがわかるので、あの式変形ができます。)
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9 ななしのよっしん非表示

2014/09/10(水) 20:35:07 ID: GtuaoFZTwX

あれ、「可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説」
「可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの？仮説」
って言い方自体は連続体仮説の説明としては正しいよね？これらの言い方から連続体仮説が「『アレフ0.5』みたいな濃度は存在しない」という仮説だと勘違いする理由がわからないのだけれど…。
アレフ0.5云々は「アレフn」の定義を勘違いしてたから出ただけなのでは
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10 ななしのよっしん非表示

2014/10/19(日) 23:55:13 ID: /5frOdlApU

とにかく実数の濃度は「アレフ」であって「アレフ１」かどうかは「証明できない」ことなので修正お願いします。
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11 きのこ非表示

2014/10/20(月) 14:05:37 ID: 9LGvQj0ECE

連続体仮説の主張ってよく誤解されるんだよなぁ(￢_￢)
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12 ななしのよっしん非表示

2014/10/20(月) 14:13:53 ID: z+STgTXZvb

同じ無限に続く数でも3.3333…より9.9999…の方がでかいとかそういう話かな？（精一杯の思考）
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13 ななしのよっしん非表示

2014/10/25(土) 08:31:54 ID: GtuaoFZTwX

>>4と>>8の説明にある通り、玉入れのところの「濃度が大きい」の説明は修正しないといけないなぁ…
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14 ななしのよっしん非表示

2014/12/31(水) 00:31:21 ID: 6VpPrGmkbn

カントールの対関数があることでつまり
n/m みたいな分数の濃度もnの集合の濃度も同じだと
言えるということか(言葉の使い方あってる?)
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15 ななしのよっしん非表示

2015/01/09(金) 10:58:51 ID: 1JGiktQyY5

とりあえず一通り理解したけど
無限小学校運動会の白組の子たちの悔しさったらない
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16 ななしのよっしん非表示

2015/01/15(木) 20:17:55 ID: PZwne+nOTM

実は少し工夫すると白組と紅組を同点にできる
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17 ななしのよっしん非表示

2015/01/29(木) 19:05:32 ID: reuf0wUUvi

対角線論法の反証を思いついた、以下その証明

０以上１０以下の２進法で示す
尚、この反証に自然数との比較は不要である為に省いている
０．１０１１０…
１．００１００…
１．１１００１…
０．００１１１…
１．０１００１…
１．０１０１０…
…
この数列は「ある特殊な並べ方」をした数列である、その特性は後述

最初に通常通りの対角線論法を用いて『斜め数列』を生成して欲しい
結果「１１００１…」という数列が現れる
次に『斜め数列』を生成する為に桁を取り出した行の、真下の行の桁の数を取り出して欲しい
これを『真下斜め数列』とすると、結果「１１００１…」という数列が得られる

おわかりいただけただろうか、『斜め数列』とこの『真下斜め数列』は全く同じ数列なのである
そして前述した「ある特殊な並べ方」とは「『真下斜め数列』を生成可能な並べ方」なのである

この並べ方が成立するなら
“n行目のn桁目の数と違う数は必ずn+1行目のn桁目に存在する”
無限集合より有限の個数の要素を取り除いても付け加えても濃度は変化しない
よって“『斜め数列』と『真下斜め数列』の桁数は等しい”
『斜め数列』と『真下斜め数列』の桁数が等しいならば
“対角線論法の「『斜め数列』は並べ終えた実数のどの実数でもない」という証明法は成り立たない”

多分どこかまちがえてるんだろうけどな～
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18 ななしのよっしん非表示

2015/01/29(木) 19:26:03 ID: reuf0wUUvi

>>17
いけね、間違えた
“対角線論法の「『斜め数列』は並べ終えた実数のどの実数でもない」という証明法は成り立たない”
じゃなくて
“『真下斜め数列』の生成から「カントールの対角線論法」が成り立つ”だ
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19 ななしのよっしん非表示

2015/01/29(木) 19:52:35 ID: GtuaoFZTwX

>>17 無限数列の「桁数」とは何？
それから、この例で対角線論法の証明に穴があると言いたいのかな、ちょっと読んでてよくわからなかった。
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20 17 非表示

2015/01/30(金) 18:49:32 ID: reuf0wUUvi

>>19
「濃度」ですね桁数も無限だし、つい混同してしまった
>>17　で言いたかったのは
「“『斜め数列』と全ての桁が元の数とは違う数字”は“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”と等しくなるのではないか」
ということ、その理由は
「“n行目とn桁目の違う数をn+1行目に置く”という順番で配置すると“対角線論法を用いて生み出す『新しい実数』は『２行目から始めた斜め数列』で生成出来てしまうことになる”」こと
これのどこが間違ってるのかの指摘が欲しい、というのが趣旨
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21 ななしのよっしん非表示

2015/01/30(金) 22:06:48 ID: GtuaoFZTwX

>>20 よ、読みにくい！
①“『斜め数列』と全ての桁が元の数とは違う数字” とは1.1001…のことですか？
②“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの” というのは複数通りありますよね（斜め数列0.0110...とか、1.1110...とか）。
1個しかない①と複数通りある②が「等しい」とは…？
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22 ななしのよっしん非表示

2015/01/31(土) 15:14:54 ID: /5frOdlApU

>>20
それ自体は正しい。
ただしそれは対角成分からなる小数が並べたいずれの小数とも異なるという事実を覆すものではない。
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23 17 非表示

2015/02/01(日) 10:01:58 ID: reuf0wUUvi

>>20
①あってる
②
複数通りある中の一つが『真下斜め数列』
そして「『真下斜め数列』が生成できる配列を任意に（テキトーに）配列し直し」
「その上で“『真下斜め数列』と同じもの”を生成」したら
「“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”に等しくなる」
そして「その配列は無限に存在する＝可算濃度に等しい」

>>22
つまり“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”は「新しい実数」に相当するという事？
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24 ななしのよっしん非表示

2015/02/01(日) 18:48:11 ID: /5frOdlApU

異なる実数を並べている以上、そんなことは起こりえない。
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25 17 非表示

2015/02/04(水) 15:17:54 ID: reuf0wUUvi

>>24
俺の質問の仕方が悪すぎた

「対角線論法の中で新しく生み出した実数（これを根拠に自然数と実数の濃度が違うと述べているもの）」
を『全異斜め数列』
「全ての行からそれぞれ違う桁の数を任意に取り出した数列」
を『任意取り出し数列』として

１：『全異斜め数列』＝『真下斜め数列』
２：『真下斜め数列』＝『任意取り出し数列』
３：『全異斜め数列』＝『任意取り出し数列』
４：『任意取り出し数列』は桁と行が等しい時は新しい数列を生み出すとは限らない
５：４は桁と行が無限の時は適応できない

この１から５の中でどれが間違っているのかを知りたい、と言いたかった
対角線論法が正しいなら４が間違いだと思う
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26 ななしのよっしん非表示

2015/02/05(木) 01:17:45 ID: 6R0oKK5tPq

>>17
この論法において「対角線から生成されるリストにない実数」は、何か1つだけでも存在することを示せば十分、という点を認識できていないように見えます。リストにない実数をたくさん生成しよう、という論法ではありません。

対角線論法とは、N(自然数全体の集合)とR(実数全体の集合)の濃度が異なる、つまりNとRの間に全単射が存在しないことを証明する際に用いる論法です。概略を書くと、以下のようになります。

・まずNからRへの写像fを考える(=実数のリストを考える)。
・fとしてどのようなものを考えても、対角線に注目することで、Rの元でfの像に属さないもの(つまり、リストにない実数)が少なくとも一つ必ず存在することがわかる。
・よって、NからRへのどのような写像も全射ではない(=どんなリストを考えても、それには抜けがある)。
・それはつまり、NからRへの全射が存在しないということ(=抜けのない実数のリストは存在しない)。
・よってNとRの間に全単射は存在しないので、NとRの濃度は異なる。
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27 ななしのよっしん非表示

2015/02/05(木) 05:59:12 ID: /5frOdlApU

reuf0wUUviのレス全部意味不明。
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28 ななしのよっしん非表示

2015/02/05(木) 09:10:15 ID: GtuaoFZTwX

任意 ∀ と存在 ∃ の勉強をしたほうがいいかもしれない
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29 ななしのよっしん非表示

2015/02/06(金) 21:47:46 ID: 0opKQ+Vo5I

>>25
任意取り出し数列が複数存在するのに対し、全異斜め数列や真下斜め数列は一つしか存在しない。
つまり２と３は間違い。
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30 ななしのよっしん非表示

2015/02/06(金) 23:46:44 ID: GtuaoFZTwX

数学の正しい記号を使って説明してほしいところだなぁ
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