ニコニコ大百科: 「可算無限と非可算無限」について語るスレ 31番目から30個の書き込み

可算無限と非可算無限

について語るスレ

記事をみる

110

2/4

31 ななしのよっしん非表示

2015/02/07(土) 02:22:23 ID: /5frOdlApU

>>25
１は偽。等しいとは限らない。
４は真。数列は数列を生み出さない。
５は真。数が何かに「適応」することはない。

だから何なのって話だが。
対角線論法と全く関係ないし。
👍
0
👎
0
32 17 非表示

2015/02/08(日) 14:19:44 ID: reuf0wUUvi

>>31　他「関係ないよコレ」系統の事を言ってくれた人

すまん、マジでその通りだった
『全異斜め数列』と同じ数列を作る条件で『任意取り出し数列』作ったら有限でも無限でも絶対に新しい数列作れるわ

勘違いの趣旨は
「『任意取り出し数列』は新しい数列作り出すとは限らないよね？」
だったけど
「『全異斜め数列』と同じ数列を作る『任意取り出し数列』」は限ってた
本当にすまん、変に騒ぎ立ててごめん。
👍
0
👎
0
33 ななしのよっしん非表示

2015/02/10(火) 18:30:57 ID: /5frOdlApU

>>32
また意味不明なことを書いているな
👍
0
👎
0
34 ななしのよっしん非表示

2015/02/20(金) 17:49:11 ID: xENiSa+WIK

「ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス」
“客室が無限にあるホテルを考える。現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。しかし「無限ホテル」ではそうはならない。”（Wikipediaより引用）

この「可算無限と非可算無限」記事を読んだことが理解の助けになった。ありがとう。
👍
0
👎
0
35 ななしのよっしん非表示

2015/03/08(日) 18:27:37 ID: YykZjGH6QL

数学知識はまるで無いです。

ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでWikipediaを見たら、「n 号室の客を n + 1 号室へ」って書いてあった。でも満室のホテルなら n + 1 号室も客が入ってるんじゃないの？と思った。

n + 1 号室が空いてるならそれは満室ではないんじゃないか。部屋数を増やすなら客もセットで増やすべきなんじゃないか。

いやケチつけたいとかじゃなくて単純に疑問に思った。
n + 1 号室に客が入っていないっていうのは、何か数学的な理由があるのかな。
👍
0
👎
0
36 ななしのよっしん非表示

2015/03/09(月) 03:05:26 ID: fwGVcZ3zmW

>>35
「n 号室の客を n + 1 号室へ」移動するのと同様に
「n + 1 号室の客を n + 2 号室へ」に移動するから
問題ないよ。

※Wikipediaの説明の「n」は特定の自然数を表している訳じゃなくて
　任意、つまりあらゆる自然数を表しているから、
　「n 号室の客を n + 1 号室へ」ってのは、
　　　「1 号室の客を 2 号室へ」
　　　「2 号室の客を 3 号室へ」
　　　「3 号室の客を 4 号室へ」
　　　　…（以降無限に続く）　　　　を意味している訳。
👍
0
👎
0
37 ななしのよっしん非表示

2015/03/09(月) 03:07:27 ID: fwGVcZ3zmW

補足だけど、数学って変数（「n」とか「x」とか）使うけど、
状況によって変数の意味合いが違うから、ちゃんと説明読まないと
理解間違えることがある。
まぁちゃんと説明されていないこともあるんだけど。
（「これくらい説明しなくても分かるだろ」的な感じで。）
👍
0
👎
0
38 ななしのよっしん非表示

2015/04/09(木) 03:24:20 ID: xZoE+HvDaz

Wikipediaの「ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス」記事読んでみたけど、これ「無限ってのは無限に数が用意されてるんじゃなくて、無限に数を増やせる事が無限なんだよね」と言ってるの？
なんかそう考えたら、ちょっと濃度の話が飲み込みやすくなった。
👍
0
👎
0
39 ななしのよっしん非表示

2015/05/04(月) 20:50:39 ID: Bv5J+/jDPJ

/　0　 1　 2　… 10　 …　（自然数の無限）
0　0.0 0.1 0.2 　 0.01
1　1.0 1.1 1.2 　 1.01
2　2.0 2.1 2.2 　 2.01
…
（自然数の無限）

だから実数の方がでかい
👍
0
👎
0
40 ななしのよっしん非表示

2015/05/04(月) 21:02:13 ID: GtuaoFZTwX

>>39 自然数全体×自然数全体から実数全体への単射を作ったってだけだから、実数の方がでかいことの証明にはなってなくない？
👍
0
👎
0
41 ななしのよっしん非表示

2015/05/06(水) 01:32:42 ID: WbN0PVDfNa

/ 0 1 2 3　…　（自然数の無限）
0 0 2 5 9
1 1 4 8
2 3 7
3 6
…
（自然数の無限）

だから整数の方がでかいって言ってるような物。
良記事乙。
教養時代にコーエンの強制法に出会って数学の魅力にとりつかれたの思い出したよ。
👍
0
👎
0
42 ななしのよっしん非表示

2015/05/08(金) 00:42:09 ID: C6W6bC6JJu

対角線論法って要は、次の1.2.3であってるよね？
1.全てを並べられたと仮定する
2.そこ(1.)にないものが作成できる
3.だから1.は間違っている

そうだとすると同様に自然数でも1.2.3が成り立つと思う
1.全てを並べられたと仮定する
2.そこ(1.)にないものが作成できる(全ての1.の後者(+1)をとっていくと、最低一つは1.にないものができる)
3.だから1.は間違っている

だから自然数は非可算だ..となると思うんだけど、
どこが間違っているのかわからない
👍
0
👎
0
43 ななしのよっしん非表示

2015/05/08(金) 01:09:12 ID: WbN0PVDfNa

自然数の定義として、任意の自然数の後継者は自然数の元であるってのがあるよ
👍
0
👎
0
44 ななしのよっしん非表示

2015/05/08(金) 01:33:41 ID: GtuaoFZTwX

>>42 1.で普通に1,2,3,…と並べると、全ての1.の後者は2,3,4,…だから「そこ(1.)にないものが作成でき」ていないと思うけれど…？
👍
0
👎
0
45 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 12:25:10 ID: C6W6bC6JJu

>>43
>>任意の自然数の後者は自然数の元
どんな自然数の集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、
それはその集合の中には存在しないという、
まさに42の2.を支える根拠です。

>>44
>>1,2,3..の後者の集合2,3,4...では成立しない
後者の集合には1が存在しなくて個数が同じだから、
その分代わりに"何か"があるはずですよね。
その場合ズバリ最後の要素が該当します

普通なら無限ならそんな要素はない、で納得するんですが
対角線論法で作った実数も同様に作れない気がするんですよ
対角線論法で作る実数を作るためには他の全てを列挙する必要がありますが
それが可能なら、そのどれもより大きな自然数は簡単に作れるとしか思えないです

元記事の対角線論法の項、自然数と実数の表において
実数0.011110...に対して、自然数が！？となっています

ヒルベルトの無限ホテルを参考にすると、満室状態から1人増えても問題ないので
実数0.011110...に対して、自然数ｋを割り当てることに何の問題も感じないわけで...

無限個から1個足すというのが
実数及び通常の自然数では許されて、
対角線論法の時の自然数だけできないとすればそれはなぜなんでしょう
👍
0
👎
0

46 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 12:47:23 ID: iMzy8uRxP6

自然数は大小の区別がつくので順番に並べられるが
実数はそうはいかないってのがポイントなんじゃないの
👍
0
👎
0
47 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 13:41:35 ID: /5frOdlApU

>>45
>どんな自然数の集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、それはその集合の中には存在しないという、まさに42の2.を支える根拠です。
↑意味不明。

>1,2,3..の後者の集合2,3,4...では成立しない
↑何が成立しないんだ？

あとは全部妄想だな。
👍
0
👎
0
48 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 13:44:40 ID: WbN0PVDfNa

>>45
>>どんな自然数の集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、それはその集合の中には存在しない
これは真だが、今の議論とは関係が無い。

>>2.そこ(1.)にないものが作成できる(全ての1.の後者(+1)をとっていくと、最低一つは1.にないものができる)
これは偽。任意の自然数の後者もまた自然数なんだから、「全ての1.の後者(+1)をとっていく」ことをしても全て自然数。

>>その分代わりに"何か"がある
とか
>>最後の要素
とか、全部偽。自然数を有限集合と勘違いしていないかい。
👍
0
👎
0
49 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 13:47:57 ID: WbN0PVDfNa

すまん、
>>どんな自然数の集合を作っても、その中で最も大きいもの
も存在しないね。
e.g.素数の集合、偶数の集合
👍
0
👎
0
50 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 22:31:36 ID: C6W6bC6JJu

>>>>どんな自然数の集合を作っても、その中で最も大きいもの
>>も存在しないね。

自然数だけの話であれば、それはそのまま信じられるんです

問題なのは、対角線論法に限った時です

対角線で新しい実数を作るためには、全ての要素全ての桁について調査しなければいけません
あえていうなら、(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです

自然数に最も大きいものがないのと同様、
普通に考えれば対角線論法の表の最後の数もないわけで、
それは"実数の方の余る数"は存在できないとうことじゃないですか？

もし存在するなら、(少なくとも表の)一番大きい自然数が存在できるというのはそんなにおかしいとは思えないのですが...
👍
0
👎
0
51 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 23:43:54 ID: /5frOdlApU

>(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです
↑意味不明

>自然数に最も大きいものがないのと同様、普通に考えれば対角線論法の表の最後の数もないわけで、それは"実数の方の余る数"は存在できないとうことじゃないですか？
↑お前は何を言ってるんだ
👍
0
👎
0
52 ななしのよっしん非表示

2015/05/09(土) 23:46:26 ID: WbN0PVDfNa

>>最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです
ってのがそもそも間違い。
君の理屈だと、πは最後の桁(そもそもこの概念が謎だが)が決まらないから数ではないのかな？
無限の操作の完了が許せないと言っても、対角線論法は構成的な証明だから直観主義数学でも付け入る隙が無いと思うのだが(曖昧)
この理屈だと、「自然数のうち２で割り切れる数を小さい順から集めていく」という作業によって作られた偶数の集合({0, 2, 4, 6, ...})にも最大元があることになるよ
👍
0
👎
0
53 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 00:02:04 ID: GtuaoFZTwX

感覚でしか語れないのならば、数学の議論にはならないんだよなぁ
👍
0
👎
0
54 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 00:29:18 ID: WbN0PVDfNa

確かに数学の議論で「信じられる」なんて言葉は相応しくないね
あくまで証明された物を納得するのみ

あと、πの例があまり適切ではないような気がしたので、超越数であることが証明されていて、かつ各桁の調査(？)が有限の回数では終わらないChampernowne定数を紹介しておく
0.12345678910111213 1415161718192021...
👍
0
👎
0
55 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 08:56:48 ID: C6W6bC6JJu

>>52,54
対角線論法では、最初に自然数と実数の対応表を作るので
ここででてくる実数の数はあくまで可算個です

なので、重要なのは超越数かどうか(各桁/値が実数かどうか)ではなく、
可算無限回の操作が可能かどうかです

対角線論法の実数のほうでは可算回の操作(各値の各桁からひとつ取り出す)が全て完了してそれに依存した新しい数を作れますが
自然数のほうではほぼ同等の可算回の操作(各値に+1する)による新しい数が作れないことになっています

両方出来る or 両方出来ないなら何の問題もないのですが
なぜ異なる結果になるんでしょうか？
👍
0
👎
0
56 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 10:01:04 ID: GtuaoFZTwX

>>55 ・「可算無限回の操作」の定義は何ですか？
・「可算無限回の操作」をしたら必ず新しい数が出来るor新しい数が出来ないのどちらかになると信じる根拠は何ですか？
👍
0
👎
0
57 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 12:57:20 ID: /5frOdlApU

Ｑ:なぜ異なる結果になるんでしょうか？
Ａ:操作が違うからです。
👍
0
👎
0
58 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 13:20:47 ID: WbN0PVDfNa

1)対角線論法では、最初に自然数と実数の対応表を作るのでここででてくる実数の数はあくまで可算個
→実数は可算無限ではない事を証明する過程なので、「実数を可算個」とするのは誤り。あくまで全てリストしたと仮定しているだけ。

2)(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえない
→確定の方法が構成的に示されていれば十分。

3)両方出来る or 両方出来ないなら何の問題もない
→この命題はどの公理及び定理から導かれたのか？

数学には、人間の直観に反するような定理が証明されることは往々にしてある。（cf. バナッハ・タルスキーの定理）
ここで議論されていることは公理に直接関する事でも形而上学的な事でもないので、畢竟君が何を信じようが信じまいが関係ないんだよ。
あと、君の論を反証できる意見がこの一連の議論の中でいくつも出ているが、それらの一部にしか反応を示さないと言うのは不毛じゃないか。実際また同じ質問をしているわけだし。
👍
0
👎
0
59 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 13:27:49 ID: C6W6bC6JJu

>>56
>>「可算無限回の操作」の定義は何ですか？
定義の書き方はよくわからないんですがとりあえず書いてみます
a.対角線論法の表の実数において、n番目のn桁目を集合 Zaに取り出す
b.対角線論法の表の自然数において、n番目の数を参照してn+1を集合Zbに取り出す

最終操作
a'.Zaを加工して実数rを作る。rは元の表には存在しない
b'.Zbの中には元の表に存在しない数が存在する

>>・「可算無限回の操作」をしたら必ず新しい数が出来るor新しい数が出来ないのどちらかになると信じる根拠は何ですか？

必ずしも新しい数が出来るor新しい数が出来ないになるとは考えていません
対角線論法によって新しい数ができるのであれば(a'.)、
そのときに使用した同数の自然数の集合から新しい数を作るのは可能(b'.)と考えます

あくまでa'を前提としたもので、b'単体ではまた別の結論になると思います

なぜa'.が成立するかはわからないのですが、対角線論法が出来るといっている以上、できるのでしょう。

>>Ｑ:なぜ異なる結果になるんでしょうか？
>>Ａ:操作が違うからです。
でも操作の回数と、試行しなければいけない総数は同じですよね
であれば当然一方が完了すれば、もう一方も完了しませんか？
👍
0
👎
0
60 ななしのよっしん非表示

2015/05/10(日) 14:33:25 ID: WbN0PVDfNa

>>59
「a' ならば b'」と君が信じるのは自由だが、これは簡単に反証することができる（実際お望みとあらば証明するに吝かでない）。
それでもなお君がこの命題を信じるというのであれば、それはもはや数学ではなくて宗教だ。他の場所で議論することを勧めるよ。
👍
0
👎
0

2/4

TOP