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91 ななしのよっしん
2017/05/20(土) 22:12:12 ID: y75UoWhate
大小を比較するために具体的な大きさを知る必要はないって話なんだよなぁ、要は。
人間は数を数えることに慣れすぎてるので、通常「2つの物は1つの物よりも多い」というときに、2という数、1という数がそれぞれ先験的に対応していると考えて、その上で数の大小を考える。だから無限という確定した大きさを持てないものはどうすることもできなかった。
カントールはそこにワンクッション入れて、大小だけが問題なら一旦大きさの世界に落とす必要などなく、直接大小を示せばいいじゃんと考えた。
同じ構造の10万個の山と100万個の山ではどうみても100万個の山の方がでかいから多いという時、厳密にそれぞれの数がいくつであるかは別に必要ないわけだが、同様にどちらかが余ることさえ示せれば無限の世界にも大小関係を持ち込むことができる。そして通常の有限の大きさとは、たまたま特定の自然数と1:1対応を取れる集まりということになる。 -
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92 ななしのよっしん
2017/07/24(月) 11:01:16 ID: reuf0wUUvi
「無限なのに取り出す操作を終えられるの？」という疑問が湧いてしまう
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93 ななしのよっしん
2017/08/20(日) 22:46:39 ID: cRojKgUhLk
巨大基数の解説とか見てると濃度ってあんまり出てこないけど何でだろう?
てか、ω以上の基数とアレフ数の関係ってどうなってるのか教えて欲しい
ベート数ってのもよくわからん -
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94 ななしのよっしん
2017/09/03(日) 07:09:42 ID: Bv7R4pL3xI
無限の議論で完了とか終わらないとかはナンセンスだぞ
取り出すのは終わらなくていいの、無限に取りだし続けても無限に違うんだから
そもそも実数自体が無限に続く自然数の列である以上、無限に取りだして構成される列も実数だよ -
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95 ななしのよっしん
2017/09/03(日) 07:11:22 ID: Bv7R4pL3xI
自然数の列じゃないわ、0～9の列ね
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96 ななしのよっしん
2017/09/03(日) 07:49:47 ID: f0SvLKr4Et
ただし0.9999…と1.000…などは同一視する。
素朴で的外れな疑問が湧きやすいトピックだが、実数の構成どころか集合論すら学ばず理解しようとするのが無茶。
一応対角線論法で小学生に子供だましの説明することは出来るだろうが厳密な理解を与えることはまず無理なので。 -
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97 【頑張れ】
2017/10/08(日) 23:43:16 ID: /1Vg/46ngH
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98 ななしのよっしん
2017/10/15(日) 01:28:58 ID: WCSY/Cv7kv
ふと思ったんだけど、2^n (nは0以上の整数)で表される集合の濃度っていくらだ？
純粋に考えれば0以上の整数の濃度が可算無限濃度なんだから
それと一対一対応できる２の正の冪も可算無限って話だろうけど
ところで2^nの冪集合の濃度は元の集合の濃度より大きくなるはずだけど、
2^nの集合の冪、つまり組み合わせで何ができるかというと、２進数的に自然数を表現することができる
そして自然数の濃度は可算無限
つまり2^nの濃度は可算無限より小さい無限……？ -
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99 ななしのよっしん
2017/10/18(水) 01:02:36 ID: y75UoWhate
もし2^nが2,4,8...のことを指してるなら当然可算無限。
その冪濃度は自然数無限桁だから対応するのは実数だろう。自然数は当然含まれるけど、逆を示してないぞ。 -
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100 ななしのよっしん
2017/10/30(月) 23:46:25 ID: X5/iWnzIQf
>>98
2進数と対応するのは、
2^nの集合の冪集合ではなく、有限部分集合全体だと思う。
2^nの集合の無限部分集合に対応する２進数はないから。 -
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101 ななしのよっしん
2018/03/04(日) 02:32:09 ID: 6jw8hRqVaA
対角線論法が成り立つ為には当然数列の桁数と列数が同じでないといけない
例えば4桁の数列なら列数も4列でないとそもそも対角線リストにならない訳で
でも使う数字を0と1に限定しても作れる数列のパターンは16通りあるから
対角線リストに含められる数列は実際に作れる数列の極一部という事になる
当然「桁数=列数=無限」な実数の対角線リストに含められる実数も、
同様に実際に存在しうる実数の極々一部のはず(だから「新しい実数を作る」操作も可能)
一方自然数の無限で対角線リストを作るとしたら、
1.00…
2.00…
3.00…
という形にすれば全部の自然数が対角線リストに収められる
…と考えると「数字の操作」をやらなくても自然数無限<実数無限と言えそうな気がする -
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102 ななしのよっしん
2018/12/19(水) 08:13:07 ID: 5iQGywTcLC
>>当然「桁数=列数=無限」な...(中略)...実数の極々一部のはず
極々一部だからといって必ずしも個数(正確には濃度)が違うとはいえない
例えば自然数は有理数の極一部だが濃度は等しい
この「部分と全体が一対一対応する」という性質にはあのガリレオもそれ以上考えることをやめたとかなんとか -
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103 ななしのよっしん
2019/08/20(火) 09:29:08 ID: 2tsR16se+v
数学漫画の『はじめアルゴリズム』にこの手の話が出てきたけど
主人公の少年が直感で「連続体仮説ってどっちでもいいんじゃ？」という回答に辿り着くなどしてかなり加速した展開になっている -
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104 ななしのよっしん
2021/04/01(木) 08:56:01 ID: gfRTtDon+Q
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105 ななしのよっしん
2021/05/12(水) 12:05:51 ID: 8YOZ94hI6y
基数の演算と順序数の演算をごっちゃにしているとこのあたりの数学基礎論で派手に躓くので気を付けよう！（1敗）
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106 ななしのよっしん
2022/03/07(月) 01:57:35 ID: HltG3jxsYU
対角線論法が超わかりやすかった。記事を書いた人ありがとう!!
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107 ななしのよっしん
2022/08/10(水) 07:00:21 ID: zzglkDRVti
こないだNHKでこれやってたな
対角線のが出てくるまで結構じっくりやってた -
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108 ななしのよっしん
2023/01/16(月) 13:06:55 ID: SiwCRg7+hF
なるほど対角線論法っていうのは少数がちょっぴり雑に並べられるから使える言葉遊びみたいな感じなんだな
少数をキッチリ並べる方法が出てきたりしたら壊れたりしちゃうのかな・・・
そういうのが無いってことは意味のない事なのかもしれないけど・・・ -
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109 ななしのよっしん
2023/04/10(月) 23:06:51 ID: KolPGBUDPK
>>108
雑に並べられることは全然本質じゃないよ
一般向けに分かりやすく書いてるだけで、実際にはこんなリストを作る必要はない -
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