代数的数

代数的数とは、有理数係数の代数方程式の解として表される複素数のことである。

概要

a₀,a₁,…a_nを有理数として、代数方程式a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=0の解となるような複素数のことである。

有理数係数の方程式は分母を払って整数係数にすることができるので、「整数係数の代数方程式の解として表される複素数」と言い換えることもできる。

この条件を満たさない、有理数係数の代数方程式の解として表せない複素数は超越数と呼ばれ、代表例としては円周率πや自然対数の底eがある。

代数的数の例

• (aを0でない整数、bを整数として)有理数b/a：方程式ax-b=0の解として表せる。
• √2：方程式x²-2=0の解として表せる。
• 黄金数(1+√5)/2：方程式x²-x-1=0の解として表せる。
• 虚数単位i：方程式x²+1=0の解として表せる。※代数的数は実数であるとは限らず、虚数であることもある。

代数的数かどうか未判明の数の例は超越数の項目参照。

性質

証明は容易ではないが、α、βを代数的数として(ただしβ≠0とする)、
代数的数の加減乗除の結果α+β、α-β、αβ、α/βは代数的数となることが知られている。

可算であるか

結論から言うと、代数的数の集合は可算集合である。

• 代数方程式の集合は可算集合
• 代数方程式に対し、解の個数は有限（n次方程式の解は高々n個）

ということを踏まえると分かりやすいかもしれない。

しかし、代数方程式の集合が可算集合であることを示すには工夫が必要である。
一例として、「(係数を整数にした上で)係数の絶対値の和と方程式の次数の和」ごとに方程式を分類するという方法がある。

以下、a₀,a₁,…a_nを整数として(ただし最高次の項の係数は正としてa_n>0とする)、
代数方程式a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=0について考える。
係数の絶対値と次数の和：h=| a₀|+| a₁|+…+| a_n |+n　について考えると、h≧2となり、

• h=2をみたす代数方程式はx=0
• h=3をみたす代数方程式はx+1=0(解はx=-1)、x-1=0(解はx=1)、2x=0(解はx=0)、x²=0(解はx=0)
  
• h=4をみたす代数方程式は…(以下略)

というように、与えられたhに対して有限個の整数係数の代数方程式と、それぞれの代数方程式について有限個の解が得られるので、解を順次リストアップし、重複分を除いて番号をつけていくことが可能となる。

可算無限と非可算無限も参照。

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関連項目

• 数学
• 方程式
• 無理数
• 超越数
• 複素数
• 平方根
• 黄金比
• 虚数単位