全ての素数の積とは (スベテノソスウノセキとは) [単語記事]

全ての素数の積とは、数学の問題である。

概要

議論の発端は魔法使いと黒猫のウィズというコロプラが提供するクイズゲームのとある問題。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

公式の回答としては「偶数」であった。しかし、数学的には正しくないとする反論が現れた。それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

1.奇数

2×3×5×7×11×…
=(2-1)×3×5×7×11×…　　←奇数
　　+(3-1)×5×7×11×…　　←偶数
　　　　+(5-1)×7×11×…　　←偶数
　　　　　＋…＋…
奇数+偶数＋偶数＋…なので奇数。

2.偶数

・始めに２が掛けられており、偶数にどんな自然数を掛けても偶数。だから全ての素数の積も当然偶数。
・n番目までの素数の積は偶数でありn+1番目の素数を掛けると偶数になる。数学的帰納法から偶数。
・無限大に発散するが上記の理由から偶数の性質が失われることは無い。定数にはならないが少なくとも偶数である。
・無限大に発散することと無限大の偶奇は無関係。2×∞と変形できるので偶数。あるいは超準解析でそのような数を「偶数の∞」と定義すればよい。

3.どちらの場合もある

・全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=（奇数）=（偶数）となる。式変型して好きな方を選べばよい。

4.どちらでもない

・無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には無関係。
・定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対象外。
・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾。背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。
・ζ関数に解析接続すると4π²になるので偶数でも奇数でもない。

5.解答不能

・問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
・全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。

いずれも一見すると尤もな解答である。このようなものを疑似パラドックスという。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいは正しいのか、指摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

議論について

多くの人は一瞬分かるわけないと感じ、その後2が掛けられているから偶数だと気付き、でもよく考えたら発散するのでひょっとしたら定義できないのでは？と発想する。しかし、厳密さを追い求めていくと数論は勿論のこと、最低限でも解析学の知識は要求される。さらに進もうとするとζ関数やら超準解析やらよくわからないものにすぐにぶち当たってしまい脱落してしまう。筆者はそうであった。

無限や極限に関しては特に繊細な議論が必要である。用語は正しく使われているのか誤用なのか、正しい論理展開なのか詭弁なのか、視点を変えたら正しいという事を見落としていないか、などはすぐにはわからないことが多い。設問の性質からも、各分野の知識を持ち合わせていないと理解することさえ難しいが、分かっている人には難しく考える必要はない、簡単すぎて敢えて反論するまでもない、と感じてしまうという問題もある。

ちなみにこれは真のパラドックスではない。しかし解説は論拠の正確さで説得力が変わるので、どういう立場・視点であるか、つまり「この分野ならOOだ」という解説になっているか、ということを意識的に明示するよう心掛け、なるべく丁寧で明快な議論をしていく必要がある。