指数関数

指数関数とは、累乗の概念を自然数より広い範囲に拡張し、指数を変数にした関数である。

概要

正の数aから始めて、次々にa倍した数を書き並べるとしよう。n個目に書かれているのはaⁿとなるね。それはnが増えるにつれて、a>1ならどんどん大きくなり、a=1なら1のまま、a<1なら0に向かって小さくなっていく。そこで、指数を自然数に限定しなくてもこの関係が成り立つのでは?と考える。そこから出てくるのが指数関数につながるわけだ。

指数の拡張

一般のxについて、指数法則が成り立つようにa^xを定める。概要に書いた大小関係を保つためには、a^x>0でなければならない。

a⁰

指数法則により、a⁰a=a⁰a¹=a⁰⁺¹=a¹=a
a≠0より、両辺をaで割って、a⁰=1

ちなみにこれは、a<0のときにも成り立つ。0⁰は定義されないが、便宜的に1とすることが多い。

a^-n

nを自然数とする。
指数法則により、aⁿa^-n=a^n-n=a⁰=1
aⁿ≠0より、両辺をaⁿで割って、a^-n=1/aⁿ

ちなみにこれは、a<0のときにも成り立つ。0^-nは定義されないが、便宜的に∞とすることがある。

a^m/n

m,nを整数とし、n>0とする。
指数法則により、(a^1/n)ⁿ=a^n/n=a¹=a
よって、a^1/nは、aのn乗根である。その中で正の実数となるものが必ず唯一つ存在する。
指数法則により、a^m/n=(a ^m)^1/n=ⁿ√a^m

ちなみにこれは、a<0のときは成り立たない。大小関係が保障されない上、負の数の偶数乗根は実数の範囲に存在しないからである。0のn乗根は0しかないので、0^1/n=0が成り立ち、m>0のとき、0^m/n=0である。m≦0のときは0⁰,0^-n同様定義されない。

a^x

xを一般の実数としたとき、これに限りなく近づく有理数列を考える。それを指数とする数列を作れば、それはある値に限りなく近づく。それをa^xとする。

ちなみに、x>0のとき、0^x=0である。なぜなら、xに十分近い有理数は正の値をとり、それを指数とするとすべて0になるからである。

指数関数

指数を実数まで拡張できたので、実数を定義域とする関数a^xを定義できる。a=1のときは定数関数となるため、除外して考えることが多い。a>1なら単調増加であり、a<1なら単調減少である。グラフは下に凸な曲線となる。xを0から遠ざけると、一方は0に近づき、他方はものすごい勢いで大きくなる。その増え方は、xが0より遠ざかるごとに勢いを増し、いかなる多項式関数をも凌駕する。

関連項目

• 数学
• 関数
• 三角関数
• 対数関数