条件付き確率

条件付き確率とは、文字通り条件のついた確率である。

概要

一般に、「○○であるとき、××となる確率」という言い回しで表される。

この「○○である」というのが「条件」であり、○○である場合に限定して確率を求める（○○でない場合については考えない）。式で表すと、次のとおり。

（○○であり、かつ××となる確率）÷（○○である確率）

式からわかるように、○○である場合を1として、確率を求めている。

例題1

甲、乙2人がくじを引く。くじは全部で12本あり、うち7本が当たり、残り5本がはずれである。先に甲が12本のうちから1本を引き、乙が残った11本の中から1本を引く。このとき、次の確率を求めよ。

1. 乙が当たりを引いたとき、甲が当たりを引いている確率
2. 乙がはずれを引いたとき、甲が当たりを引いている確率

解答

前述の「○○である」に相当するのは「乙が当たり（もしくははずれ）を引く」であり、「××となる」に相当するのは「甲が当たりを引いている」である。

甲が当たりを引き、かつ乙が当たりを引く確率は、(7/12)×(6/11) = 42/132
甲がはずれを引き、かつ乙が当たりを引く確率は、(5/12)×(7/11) = 35/132
よって、乙が当たりを引く確率は、42/132+35/132 = 7/12
したがって、1.の確率は、(42/132)÷(7/12) = 6/11

甲が当たりを引き、かつ乙がはずれを引く確率は、(7/12)×(5/11) = 35/132
甲がはずれを引き、かつ乙がはずれを引く確率は、(5/12)×(4/11) = 20/132
よって、乙がはずれを引く確率は、35/132+20/132 = 5/12 
したがって、2.の確率は、(35/132)÷(5/12) = 7/11

このように、甲が先に引いているのだが、乙の結果を前提条件にすると、それによって甲が当たりを引いている確率も変わる。実際、乙が先にくじを開いて結果を確かめれば、乙の結果は確定的な要素になるため、結果と反する場合が除外されるのである。ちなみに、乙の結果によらず単純に甲が当たりを引く確率は、7/12である。

例題2

サイコロを2回続けて振る。このとき、次の確率を求めよ。念のためだが、6面のサイコロを使用し、確率は均等である。

1. 1回目で1を出したとき、2回目でも1を出す確率
2. 1回目で1以外を出したとき、2回目で1を出す確率

解答

答えは、いずれも1/6である。条件云々以前に、サイコロは1回目の結果が2回目の結果に影響を及ぼすものではない。1回目で何が出ようと、2回目とは関係ないことなのだ。一応、条件付き確率の式に当てはめると、以下のとおりとなる。

1回目で1を出し、2回目でも1を出す確率は、(1/6)×(1/6) = 1/36
1回目で1を出す確率は、1/6
よって、1.の確率は、(1/36)÷(1/6) = 1/6

1回目で1以外を出し、2回目で1を出す確率は、(5/6)×(1/6) = 5/36
1回目で1以外を出す確率は、5/6
よって、2.の確率は、(5/36)÷(5/6) = 1/6

当たり前っちゃ当たり前だが、「後者のほうが前者の5倍出る」と思い込んでいる方もそれなりにいらっしゃる。そういった方々は、「前提条件の確率で割る」ということを理解されていない。

関連動画

関連項目

• 数学
• 確率
• モンティ・ホール問題

外部リンク

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