空間(数学)

数学において空間とは、構造をもった集合である。

概要

数学で空間というと、空間図形を思い浮かべる方が多いのではないだろうか。空間図形は3次元空間の中で図形を考えるものであり、ベクトルにも応用される。この3次元空間では、距離や位置関係を考えることができ、ベクトルでは足し算や実数倍について考えることができる。

この「距離」や「位置関係」など、空間内で満たしている条件を「構造」というのである。一般に空間というのは、集合に構造を入れたものである。集合と構造の組として書き表されるが、構造がわかっているときには集合のみを記述して「空間」という場合もある。

より抽象的な空間を定義する際は、具体的な空間の構造のうち、考察の対象となるものを抽出して、それを満たすもの全般とすることがよくある。

ちなみに、先ほどは例として3次元空間を挙げたが、2次元(平面)でも距離や位置関係などの「構造」を考えることができるので「空間」といえる。

Rⁿ

実数全体の集合をRと書く。Rは数直線とも言える。座標平面の点は2つの実数の組みとして表されるため、座標平面はR×Rと書くことができる。これをR²と書く。同様に、座標空間はR³と書く。ここでの右肩の数字は次元の数を表している。

これらは、2点間の距離やベクトルの足し算、実数倍、内積も考えることができるため、空間である。ではこれを、より次元の高い空間に適用できないだろうか。

座標を4つ考えると、それはR⁴となる。イメージ的には座標軸が4本直交している感じになるが、具体的にはイメージし辛い。というかこの記事を最初に書いた私ですらイメージできない。とりあえず、なんだかわかんないけど4本直交してるんだって思っとけばいいよ。ここでの本質は数なんだから、図形的なイメージを深く考える必要はない。

3次元までは、2点間の距離を「各座標の差を2乗して、その合計に√をつけた値」って考えたが、4次元でも同じように考える。これは「4本の座標軸が直交している」という前提と、ピタゴラスの定理からわかるだろう。ベクトルの足し算や実数倍も、成分同士の足し算や実数倍と考えればよい。内積はベクトルの大きさにコサインをかけて、ってやってたかもしれないが、成分同士の積の合計として考えれば簡単に4次元にも適用できる。

次元が5以上になっても同じ。低次元の空間で考えていたことを座標を増やして適用する。すると、一般の自然数nに対して、Rⁿが距離やベクトルを構造としてもつ空間になることがわかる。

Cⁿ

複素数全体の集合をCと書く。Cは複素数平面ともいえる。C²は2つの複素数平面が原点のみを共有して交わっているものである。R⁴の4つの座標軸を2組の実軸と虚軸に置き換えたようなもので、やっぱりイメージし辛い。Rⁿと同じようにCⁿも空間となる。しかし、同じように考えるだけではうまくいかない。

「距離」は、0以上の実数値をとらなければならない。実数は2乗すると負にならないため、Rⁿでの距離の計算過程で、各座標の「差を2乗」しても矛盾がなかった。しかし、虚数は2乗すると負の数どころか虚数になることもある。つまり、Cⁿでは少しひねりが必要なのである。そこで、各座標の「差を2乗」するのではなく、「差の絶対値を2乗」する。複素数の絶対値とは、複素数平面において原点からの距離である。これで、距離として矛盾なく定義される。Rⁿでも距離を同じように定義してよいが、実数では2乗する前にわざわざ絶対値をとらなくても同じ値になる。

ベクトルとしての和と実数倍はRⁿと同様にしても問題はない。あとCⁿでは虚数倍もできる。実数や複素数のことを、ベクトルに対して「スカラー」という。ベクトルは足し算とスカラー倍が定義されているのである。Rⁿの項目で「実数倍」とだけ書いたのは、虚数倍するとRⁿにとどまらなくなるからである。虚数倍を許すとRⁿは、後述するベクトル空間の条件を満たさなくなる。

線型空間

線型空間とは、ベクトルによって構成される空間である。ベクトル空間とも呼ばれる。ベクトルにも様々な種類があり、大きさと向きで表される幾何ベクトルや、成分で表される数ベクトルがある。どちらもベクトルであるが、これがベクトルの本質ではない。むしろ具体例である。ベクトルの本質が何であるかを考えるために、ベクトルの和とスカラー倍に関する、基本的な性質を挙げる。Vはベクトルの集合、Fはスカラーの集合とする。

• すべてのu,v∈Vに対して、u+v∈V
• すべてのu,v∈Vに対して、u+v=v+u
• すべてのu,v,w∈Vに対して、(u+v)+w=u+(v+w)
• ある0∈Vが存在し、すべてのu∈Vに対して0+u=u
• すべてのu∈Vに対して、あるv∈Vが存在しu+v=0
• すべてのu∈V,α∈Fに対して、αu∈V
• すべてのu∈V,α,β∈Fに対して、(αβ)u=α(βu)
• すべてのu∈V,α,β∈Fに対して、(α+β)u=αu+βu
• すべてのu,v∈V,α∈Fに対して、α(u+v)=αu+αv
• すべてのu∈Vに対して、1u=u

これは線型空間の公理系とも呼ばれる。つまり、これがベクトルの本質なのである。概要にもある通り、性質を書き並べ、それを満たすものをすべてベクトルと言うのである。一般に、集合Vに和とスカラー倍が定義されていて上記の条件を満たすとき、VをF上の線型空間という。

例えば、同じ型の行列全体の集合は、線型空間になる。いずれかの成分を0に固定しても、線型空間になる。多項式関数全体の集合も線型空間になる。0のみからなる集合も線型空間になる。このように線型空間はRⁿやCⁿより広い概念なのである。

内積空間

線型空間に内積を定義できるとき、これを内積空間という。計量ベクトル空間とも呼ばれる。ベクトル同様、内積も抽象化される。一般に、u,v∈Vの内積は<u,v>と書き表される。これは2つのベクトルの組に対して1つの値を返す関数であり、次の条件を満たす。

• すべてのu∈Vに対して、<u,u>≧0 特に、等号が成立するのはu=0のときのみ
• すべてのu,v∈Vに対して、<u,v>=<v,u>^* (^*は複素共役)
• すべてのu,v,w∈Vに対して、<u+v,w>=<u,w>+<v,w>
• すべてのu,v∈V,α∈Fに対して、<αu,v>=α<u,v>

この4つの条件を満たすものは、すべて内積である。

ノルム空間

線型空間にノルムを定義できるとき、これをノルム空間という。ノルムとは、ベクトルの大きさを意味し、一般にuのノルムを||u||と書き表す。これは1つのベクトルに対して1つの値を返す関数であり、次の条件を満たす。

• すべてのu∈Vに対して、||u||≧0 特に、等号が成立するのはu=0のときのみ
• すべてのu∈V,α∈Fに対して、||αu||=|α|||u||
• すべてのu,v∈Vに対して、||u+v||≦||u||+||v||

Vが内積空間であれば、||u||=√<u,u>とすることでノルムを定義することができる。つまりノルム空間は内積空間より広い概念である。また、2つのベクトルu,vに対して||u-v||とすると、uとvの間に距離を定義できる。