ベルヌーイの不等式単語

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ベルヌーイの不等式とは、数学において 1+x のべき乗に関する次の不等式である。

「　x > -1 のとき r ≧ 1 または r ≦ 0 ならば (1+x)^r ≧ 1+rx

　　0 < r < 1 ならば (1+x)^r ≦ 1+rx　」

次の形で認識されていることもある。

「　x > 0 のとき r ≧ 1 または r ≦ 0 ならば x^r - 1 ≧ r(x-1)　

　　0 < r < 1 ならば x^r - 1 ≦ r(x-1)　」

また、x₁,...,x_n ≧ 0 のとき

　(1+x₁)(1+x₂)...(1+x_n) ≧ 1+x₁+x₂+...+x_n

が成り立つが、こちらもベルヌーイの不等式と言われることがある。これは先ほどの不等式で r を整数とした場合の拡張になっている。帰納法により容易に示せる。

概要

名前の由来となったのはスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイである。いろいろな場面で現れる重要な不等式で、ベルヌーイの不等式から様々な有名不等式が得られる。というか、ベルヌーイの不等式からヤングの不等式が導かれ、ヤングの不等式から相加相乗平均の関係、コーシー・シュワルツの不等式、ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式などが導かれる。逆に、相加平均≧相乗平均を使ってベルヌーイの不等式を導くこともできる(後述)。

証明

いくつか証明を紹介する。r=0,1のときは自明に成り立つので言及しない。

rが自然数のときに帰納法を用いて示す方法は有名だろう。

　(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+xⁿ)(1+x) ≧ (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx² ≧ 1+(n+1)x

とすればよい。

また、r>1 , x>-1 の場合だけ示せば、次のようにして他の場合が示される;

まず 0<r<1 のとき。1/r > 1 なので x≧-r (>-1) ならば (1+x)^1/r ≧ 1+x/r となり 1+x ≧ (1+x/r)^r が得られる。ここで x を rx で置き換えれば x > -1 のとき 1+rx ≧ (1+x)^r となる。

r<0 のときは 1-r>1 であり、x > -1 ⇔ -x/(1+x) > -1 なので

　(1+x)^r = (1+x)(1-x/(x+1))^1-r ≧ (1+x)(1-x(1-r)/(1+x)) = 1+rx (x>-1)

となり、以上より示される。

従って以下では x>-1 , r>1 の場合のみ示す。

証明１

微分法を用いる。

f(x) = x^r-1 - r(x-1) とおき f'(x) = rx^r-1-r = 0 とすれば x=1 が得られるので f(x) は x=1 で極小値となり f(x) ≧ f(1) = 0 。

よって x^r-1 ≧ r(x-1) (x>0) がわかるので x を x+1 で置き換えると定理が従う。◻︎

証明２

相加平均≧相乗平均を用いる。r=p/q , p>q , p,q∈N とし 1+(p/q)x ≧ 0 とする。

　(1+x)^p/q = (q*(1+(p/q)x) + (p-q)*1)^p/q ≧ ((1+(p/q)x)^q1^p-q)^1/q = 1+(p/q)x

となるのでこのとき成立。

-q/p > x > -1 のとき (1+x)^p/q > 0 > 1+(p/q)x となり、以上より r>1 , r∈Q のとき定理が成立することがわかる。r が実数となるように極限をとれば r>1 のときが示されるので以上より定理が従う。◻︎

証明３

微分も相加平均≧相乗平均も用いずに示すことができる。

まず、(1+x)ⁿ ≧ 1+nx は帰納法により示せる。これより (1+x/n)ⁿ ≧ 1+x  (x>-n) がわかり、ここで n→∞ とすると e^x ≧ 1+x (x∈R) がわかる。さらに e^-x ≧ 1-x より xe^x ≧ e^x-1 (x>0) がわかるので、以上より

　e^x ≧ (e^x-1)/x ≧ 1 (x>0)

がわかる。同様に 1 ≧ (e^x-1)/x ≧ e^x (x<0) もわかる。

さてこれより (e^t-1)/t ≧ 1 ≧ (e^x-1)/(xe^x) (x,t>0) を得る。変形して、

　xe^x(e^t-1) ≧ t(e^x-1)　⇔　x(e^x+t-1) ≧ (x+t)(e^x-1)　⇔　(e^x+t-1)/(x+t) ≧ (e^x-1)/x

となる。ここで t=x(r-1) >0 とおくと (e^rx-1)/(rx) ≧ (e^x-1)/x を得るので整理して

　(e^rx-1)/(e^x-1) ≧ r　(x>0)

となる。e^x>1 を x>1 と置き直せば (x^r-1)/(x-1) ≧ r ⇔ x^r-1 ≧ r(x-1) (x>1) を得るので、

　x>0 のとき (1+x)^r ≧ 1+rx

を得る。

x,t<0 とすれば (e^x-1)/(xe^x) ≧ 1 ≧ (e^t-1)/t となるのであとは全く同様にして

　(e^rx-1)/(e^x-1) ≦ r　(x<0)

を得て、0<e^x<1 を 0<x<1 と置き直せば (x^r-1)/(x-1) ≦ r ⇔ x^r-1 ≧ r(x-1)  (0<x<1) がわかるので、

　-1<x<0 のとき (1+x)^r ≧ 1+rx

を得る。

x=0 のときは自明。以上より定理が示された。　◻︎

応用

前に述べたように、ベルヌーイの不等式からヤングの不等式 a^p/p + b^q/q ≧ ab (a,b≧0,p,q>1,1/p+1/q=1) を導くことができる。

(a/b^1/(p-1))^p ≧ p(a/b^1/(p-1)-1)+1 = pa/b^1/(p-1)-p/q がベルヌーイの不等式から得られるので p/(p-1) = q に注意すると

　a^p/p ≧ b^p/(p-1)(a/b^1/(p-1) - 1/q) = ab - b^q/q

となり、ヤングの不等式を得る。

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関連項目

• 不等式
• 相加平均≧相乗平均
• ヤングの不等式