余り

余りとは、

1. 物が余ること、または余った物。余り物の記事を参照。
2. beatmaniaIIDXやpop'n musicのボタン音になれなかった余りの音を配置した動画につけられるタグ。
3. 整数の割り算で発生する副産物。本稿で記述。

概要

4つの物を2人で山分けすると、分け前は2つになるね。ところが、5つの物を2人で山分けしようとすると、1人2つずつもらったところで、1つ余っちゃう。3人で山分けしようとすると、1人1つずつもらったところで、2つ余っちゃう。このように、いくつかの物を何人かで山分けしようとしても、余っちゃうことがあるんだ。この数を、余りというんだよ。じゃあ、もっと簡単に説明するから、はい、二人組つくってー。

定義

厳密に言うと、任意の整数mと正の整数nに対し、ある整数qとrがただ一つずつ存在し、次を満たす。

m = nq+r　かつ　0 ≦ r < n

このqを、mをnで割ったときの商、rを余りという。

余りの概念は小学校の算数で習うが、割り算を実数値で考えるようになると全くと言っていいほど触れられなくなる。しかし決して無意味なものではなく、現在RSA暗号等に応用されている。

多項式の商と余り

余りの概念は、1変数多項式でも考えることができる。但し、係数は実数値で考え、余りは割る式より次数が少ないものとする。次のようにして機械的に求めることができる。

1. 割られる式をF、割る式をG、商を0とする。
2. Fの次数がGの次数より少なければ、6.へ飛ぶ。
3. Fの先頭項(最も次数の高い項)をGの先頭項で割り、商に加える。
4. 3.で求めた項をG倍し、Fから引く(これでFの次数が減る)。
5. 2.に戻る。
6. Fが余りである。

割る式が1次式のときは、割られる式に特定の値を代入することで余りを求めることができる。具体的には、割る式がax+bのとき、-b/aを代入すればよい。(剰余の定理)

 剰余類

割る数nを固定して考えると、nで割った余りによって整数全体をグループ化することができる。例えばn = 3とすると、次のようになる。

• {・・・,-6,-3,0,3,6,・・・}
• {・・・,-5,-2,1,4,7,・・・}
• {・・・,-4,-1,2,5,8,・・・}

順に、余りが0の整数、余りが1の整数、余りが2の整数による集合である。どの整数も、これらのうち1つに属するのである。整数mと余りが等しい集合をmの剰余類といい、[m]あるいはmの真上に横線を引いた形で表記する(ここでは[m]と表記することにする)。上記の例で言うと、上から順に[0],[1],[2]である。

この剰余類には次のように演算を定義することができる。

[m]+[m'] = [m+m']
[m][m'] = [mm']

[1]を繰り返し足すことで、いかなる剰余類も表すことができ、n回足すと[0]に戻る。このような循環は、曜日や時間にも見ることができる。

コピペ

「パパ、割り算の『あまり』って何？」
「例えば37人のクラスで3人組を作るとするだろう。そうすると組はいくつできる」
「うーんと、12」
「でも組になれてない子もいるだろ」
「うん、1人いる」
「それが中学生の頃のパパだ」
「パパ……！」

関連項目

• 算数
• 数学
• ÷
• ≡
• 中国の剰余定理